MediuPrimitiveClasa 12

Problemă rezolvată de Primitive

MediuPrimitiveIntegrale definiteArii și volume
Fie f:R→Rf:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x3−4xf(x)=x^3-4x. Determinați o primitivă FF a funcției ff astfel încât F(1)=2F(1)=2. Calculați aria suprafeței plane delimitate de graficul lui FF, axa OxOx și dreptele de ecuații x=−1x=-1 și x=2x=2.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Găsirea primitivei generale: F(x)=∫(x3−4x) dx=x44−2x2+CF(x)=\int (x^3-4x)\,dx = \frac{x^4}{4} - 2x^2 + C, C∈RC\in\mathbb{R}.
22 puncte
Determinarea constantei din condiția F(1)=2F(1)=2: 144−2⋅12+C=2⇒14−2+C=2⇒C=2−14+2=164−14+84=234\frac{1^4}{4} - 2\cdot 1^2 + C = 2 \Rightarrow \frac{1}{4} - 2 + C = 2 \Rightarrow C = 2 - \frac{1}{4} + 2 = \frac{16}{4} - \frac{1}{4} + \frac{8}{4} = \frac{23}{4}, deci F(x)=x44−2x2+234F(x)=\frac{x^4}{4} - 2x^2 + \frac{23}{4}.
35 puncte
Calculul ariei: A=∫−12∣F(x)∣ dxA=\int_{-1}^{2} |F(x)|\,dx. Se studiază semnul lui FF pe [−1,2][-1,2]: F(x)=x44−2x2+234F(x)=\frac{x^4}{4} - 2x^2 + \frac{23}{4}. Ecuația F(x)=0⇒x4−8x2+23=0F(x)=0 \Rightarrow x^4 - 8x^2 + 23=0. Notăm t=x2≥0t=x^2 \ge 0: t2−8t+23=0t^2-8t+23=0, Δ=64−92=−28<0\Delta = 64-92=-28<0, deci F(x)>0F(x)>0 pentru orice x∈Rx\in\mathbb{R}. Atunci A=∫−12F(x) dx=[x520−2x33+234x]−12A=\int_{-1}^{2} F(x)\,dx = \left[\frac{x^5}{20} - \frac{2x^3}{3} + \frac{23}{4}x\right]_{-1}^{2}. step 3.1, 2 puncte: Evaluarea în x=2x=2: 3220−163+464=85−163+232=85−163+232\frac{32}{20} - \frac{16}{3} + \frac{46}{4} = \frac{8}{5} - \frac{16}{3} + \frac{23}{2} = \frac{8}{5} - \frac{16}{3} + \frac{23}{2}. step 3.2, 2 puncte: Evaluarea în x=−1x=-1: −120−−23+−234=−120+23−234\frac{-1}{20} - \frac{-2}{3} + \frac{-23}{4} = -\frac{1}{20} + \frac{2}{3} - \frac{23}{4}. step 3.3, 1 punct: Calculul final: A=(85−163+232)−(−120+23−234)=85−163+232+120−23+234=85+120−183+232+234=3220+120−6+464+234=3320−6+694=3320+34520−12020=25820=12910A = \left(\frac{8}{5} - \frac{16}{3} + \frac{23}{2}\right) - \left(-\frac{1}{20} + \frac{2}{3} - \frac{23}{4}\right) = \frac{8}{5} - \frac{16}{3} + \frac{23}{2} + \frac{1}{20} - \frac{2}{3} + \frac{23}{4} = \frac{8}{5} + \frac{1}{20} - \frac{18}{3} + \frac{23}{2} + \frac{23}{4} = \frac{32}{20} + \frac{1}{20} - 6 + \frac{46}{4} + \frac{23}{4} = \frac{33}{20} - 6 + \frac{69}{4} = \frac{33}{20} + \frac{345}{20} - \frac{120}{20} = \frac{258}{20} = \frac{129}{10}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Primitive

Ușor#1PrimitiveDerivate
Găsiți F(x)F(x) știind că F′(x)=4x+1F'(x) = 4x + 1 și F(−1)=2F(-1) = 2.
Ușor#2PrimitiveDerivate
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 3x2−4x3x^2 - 4x și F(0)=1F(0) = 1.
Ușor#3PrimitiveDerivatePolinoame
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 7x2−2x+37x^2 - 2x + 3 și graficul lui F trece prin punctul M(1,5)M(1,5).
Ușor#4PrimitiveTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 1 + x + cos 2x și F(0) = 1.
Vezi toate problemele de Primitive →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Primitive cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.