MediuStudiul funcțiilorClasa 11

Problemă rezolvată de Studiul funcțiilor

MediuStudiul funcțiilorDerivateAsimptote
Se consideră funcția f:R∖{1}→Rf: \mathbb{R} \setminus \{1\} \to \mathbb{R}, f(x)=x2+1x−1f(x) = \frac{x^2 + 1}{x - 1}. a) Determinați domeniul de definiție și asimptotele funcției. b) Studiați monotonia și determinați punctele de extrem ale funcției. c) Calculați f′′(x)f''(x) și studiați convexitatea/concavitatea funcției. d) Reprezentați grafic funcția.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Domeniul este R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\}; asimptota verticală: lim⁡x→1f(x)=∞\lim_{x \to 1} f(x) = \infty, deci x=1x = 1.
22 puncte
Asimptota oblică: m=lim⁡x→±∞f(x)x=1m = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{f(x)}{x} = 1, n=lim⁡x→±∞(f(x)−mx)=1n = \lim_{x \to \pm \infty} (f(x) - mx) = 1, deci y=x+1y = x + 1.
32 puncte
Derivata f′(x)=x2−2x−1(x−1)2f'(x) = \frac{x^2 - 2x - 1}{(x-1)^2}; semnul: f′(x)>0f'(x) > 0 pentru x∈(−∞,1−2)∪(1+2,∞)x \in (-\infty, 1-\sqrt{2}) \cup (1+\sqrt{2}, \infty) (crește), f′(x)<0f'(x) < 0 pentru x∈(1−2,1)∪(1,1+2)x \in (1-\sqrt{2}, 1) \cup (1, 1+\sqrt{2}) (descrește).
42 puncte
Puncte de extrem: maxim local în x=1−2x = 1-\sqrt{2}, f(1−2)=2−22f(1-\sqrt{2}) = 2-2\sqrt{2}; minim local în x=1+2x = 1+\sqrt{2}, f(1+2)=2+22f(1+\sqrt{2}) = 2+2\sqrt{2}.
52 puncte
Derivata a doua f′′(x)=2(x2−2x+3)(x−1)3f''(x) = \frac{2(x^2 - 2x + 3)}{(x-1)^3}; semnul: f′′(x)>0f''(x) > 0 pentru x>1x > 1 (convexă), f′′(x)<0f''(x) < 0 pentru x<1x < 1 (concavă).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Studiul funcțiilor

Ușor#1Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→6x+3−3x−6\lim_{x\to 6}\frac{\sqrt{x+3}-3}{x-6}.
Mediu#2Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→2[(x3−4xx3−8)−1−(x+2xx−2−2x−2)−1]\lim_{x\to2}\left[\left(\frac{x^3 - 4x}{x^3 - 8}\right)^{-1} - \left(\frac{x + \sqrt{2x}}{x - 2} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x} - \sqrt{2}}\right)^{-1}\right]
Ușor#3Studiul funcțiilorAsimptote
Calculați limita lim⁡x→∞(3x5x−1−2x2+1x2+2x−1)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{3x}{5x - 1} - \frac{2x^2 + 1}{x^2 + 2x - 1}\right).
Ușor#4Studiul funcțiilorPolinoame
Calculați limita lim⁡x→∞(2x2+7x−26x3−4x+3)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{2x^2 + 7x - 2}{6x^3 - 4x + 3}\right).
Vezi toate problemele de Studiul funcțiilor →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Studiul funcțiilor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.