MediuProgresii AritmeticeClasa 9

Problemă rezolvată de Progresii Aritmetice

MediuProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere RealeSisteme de Ecuații Neliniare
Fie (an)n≥1(a_n)_{n \ge 1} o progresie aritmetică de numere reale. Știind că a2+a5=18a_2 + a_5 = 18 și a3⋅a4=77a_3 \cdot a_4 = 77, determinați primul termen a1a_1 și rația rr, apoi calculați suma primilor 1010 termeni.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Se scriu relațiile pentru termenii progresiei: a2=a1+ra_2 = a_1 + r, a3=a1+2ra_3 = a_1 + 2r, a4=a1+3ra_4 = a_1 + 3r, a5=a1+4ra_5 = a_1 + 4r.
23 puncte
Se înlocuiește în ecuațiile date: (a1+r)+(a1+4r)=18(a_1 + r) + (a_1 + 4r) = 18 și (a1+2r)(a1+3r)=77(a_1 + 2r)(a_1 + 3r) = 77.
32 puncte
Se rezolvă sistemul: din prima ecuație 2a1+5r=182a_1 + 5r = 18, iar a doua devine a12+5a1r+6r2=77a_1^2 + 5a_1 r + 6r^2 = 77. Se exprimă a1a_1 din prima: a1=18−5r2a_1 = \frac{18 - 5r}{2}, se înlocuiește în a doua și se obține (18−5r2)2+5⋅18−5r2⋅r+6r2=77\left(\frac{18 - 5r}{2}\right)^2 + 5 \cdot \frac{18 - 5r}{2} \cdot r + 6r^2 = 77. După calcule, se ajunge la r2=4r^2 = 4, deci r=±2r = \pm 2.
42 puncte
Pentru r=2r=2, a1=18−102=4a_1 = \frac{18 - 10}{2} = 4; pentru r=−2r=-2, a1=18+102=14a_1 = \frac{18 + 10}{2} = 14. Se calculează S10=10(2a1+9r)2=5(2a1+9r)S_{10} = \frac{10(2a_1 + 9r)}{2} = 5(2a_1 + 9r). Pentru a1=4,r=2a_1=4, r=2, S10=5(8+18)=130S_{10}=5(8+18)=130; pentru a1=14,r=−2a_1=14, r=-2, S10=5(28−18)=50S_{10}=5(28-18)=50.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Progresii Aritmetice

Ușor#1Progresii AritmeticeEcuații exponentialeFuncția de gradul al II-lea
Rezolvați inegalitatea (0.3)2+4+6+⋯+2x>(0.3)72, x∈N(0.3)^{2+4+6+\dots+2x}>(0.3)^{72},\ x\in\mathbb{N}.
Ușor#2Progresii AritmeticeSisteme de Ecuații Liniare
Găsiți primul termen a1a_1 și diferența comună dd ale progresiei aritmetice {an}\{a_n\} în care sunt adevărate ecuațiile a2+a5−a3=10a_2 + a_5 - a_3 = 10 și a2+a9=17a_2 + a_9 = 17.
Ușor#3Progresii AritmeticeȘiruri de numere reale
Arătați că șirul {an}\{a_n\} este o progresie aritmetică, știind că suma primelor nn termene este Sn=2n2+3nS_n = 2n^2 + 3n.
Ușor#4Progresii AritmeticeȘiruri de numere realeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Determinați primele trei termene ale progresiei aritmetice a cărei sumă a primelor nn termene este Sn=4n2−3nS_n = 4n^2 - 3n, pentru orice nn.
Vezi toate problemele de Progresii Aritmetice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Progresii Aritmetice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.