MediuStudiul funcțiilorClasa 11

Problemă rezolvată de Studiul funcțiilor

MediuStudiul funcțiilorDerivateAsimptote
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=e−x2(x2−2x+1)f(x) = e^{-x^2} (x^2 - 2x + 1). Să se studieze funcția ff în următoarele aspecte: a) Domeniul de definiție și paritatea; b) Asimptotele orizontale și oblice; c) Intervalele de monotonie și punctele de extrem local; d) Intervalele de convexitate/concavitate și punctele de inflexiune; e) Trasarea graficului schematic.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
11 punct
Domeniul: ff este definită pe R\mathbb{R} deoarece e−x2e^{-x^2} și polinomul sunt definite peste tot; paritatea: f(−x)=e−(−x)2((−x)2−2(−x)+1)=e−x2(x2+2x+1)≠f(x)f(-x) = e^{-(-x)^2} ((-x)^2 - 2(-x) + 1) = e^{-x^2} (x^2 + 2x + 1) \neq f(x) și ≠−f(x)\neq -f(x), deci nu este pară sau impară.
22 puncte
Asimptote: lim⁡x→±∞f(x)=lim⁡x→±∞e−x2(x2−2x+1)=0\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = \lim_{x \to \pm \infty} e^{-x^2} (x^2 - 2x + 1) = 0 (deoarece e−x2→0e^{-x^2} \to 0 rapid), deci asimptota orizontală y=0y=0; nu există asimptote oblice.
33 puncte
Derivata întâi: f′(x)=−2xe−x2(x2−2x+1)+e−x2(2x−2)=2e−x2(−x3+2x2−1)f'(x) = -2x e^{-x^2} (x^2 - 2x + 1) + e^{-x^2} (2x - 2) = 2 e^{-x^2} (-x^3 + 2x^2 - 1); semnul: rezolvăm −x3+2x2−1=0-x^3 + 2x^2 - 1 = 0, cu rădăcinile aproximative sau folosind metode algebrice; intervale de monotonie: crescătoare pe (−∞,x1)(-\infty, x_1) și (x2,x3)(x_2, x_3), descrescătoare pe (x1,x2)(x_1, x_2) și (x3,∞)(x_3, \infty), unde x1,x2,x3x_1, x_2, x_3 sunt rădăcinile; puncte de extrem la aceste rădăcini.
42 puncte
Derivata a doua: f′′(x)=e−x2(4x4−12x3+12x2−4x)f''(x) = e^{-x^2} (4x^4 - 12x^3 + 12x^2 - 4x); semnul: analizăm pentru a determina intervalele de convexitate (f′′(x)>0f''(x) > 0) și concavitate (f′′(x)<0f''(x) < 0); puncte de inflexiune unde f′′(x)=0f''(x) = 0.
52 puncte
Trasarea graficului schematic: se notează domeniul, asimptotele, punctele de extrem și de inflexiune, comportamentul la limite.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Studiul funcțiilor

Ușor#1Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→6x+3−3x−6\lim_{x\to 6}\frac{\sqrt{x+3}-3}{x-6}.
Mediu#2Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→2[(x3−4xx3−8)−1−(x+2xx−2−2x−2)−1]\lim_{x\to2}\left[\left(\frac{x^3 - 4x}{x^3 - 8}\right)^{-1} - \left(\frac{x + \sqrt{2x}}{x - 2} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x} - \sqrt{2}}\right)^{-1}\right]
Ușor#3Studiul funcțiilorAsimptote
Calculați limita lim⁡x→∞(3x5x−1−2x2+1x2+2x−1)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{3x}{5x - 1} - \frac{2x^2 + 1}{x^2 + 2x - 1}\right).
Ușor#4Studiul funcțiilorPolinoame
Calculați limita lim⁡x→∞(2x2+7x−26x3−4x+3)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{2x^2 + 7x - 2}{6x^3 - 4x + 3}\right).
Vezi toate problemele de Studiul funcțiilor →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Studiul funcțiilor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.