MediuArii și volumeClasa 11

Problemă rezolvată de Arii și volume

MediuArii și volumeDerivateAplicații ale derivatelor
Fie un con circular drept cu raza bazei rr și înălțimea hh. Aria laterală a conului este Al=πrr2+h2A_l = \pi r \sqrt{r^2 + h^2} și are valoarea constantă 36π36\pi cm². Determinați valorile lui rr și hh pentru care volumul conului V=13πr2hV = \frac{1}{3} \pi r^2 h este maxim.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Din condiția Al=36πA_l = 36\pi, obținem πrr2+h2=36π\pi r \sqrt{r^2 + h^2} = 36\pi, deci rr2+h2=36r \sqrt{r^2 + h^2} = 36.
23 puncte
Exprimăm hh în funcție de rr: din rr2+h2=36r \sqrt{r^2 + h^2} = 36, avem r2+h2=36r\sqrt{r^2 + h^2} = \frac{36}{r}, așadar r2+h2=1296r2r^2 + h^2 = \frac{1296}{r^2}, deci h2=1296r2−r2h^2 = \frac{1296}{r^2} - r^2 și h=1296r2−r2h = \sqrt{\frac{1296}{r^2} - r^2} (considerăm h>0h>0).
33 puncte
Volumul devine V=13πr21296r2−r2=13π1296r2−r6V = \frac{1}{3} \pi r^2 \sqrt{\frac{1296}{r^2} - r^2} = \frac{1}{3} \pi \sqrt{1296 r^2 - r^6}. Considerăm funcția f(r)=1296r2−r6f(r) = 1296 r^2 - r^6 pentru r>0r>0 și calculăm derivata: f′(r)=2592r−6r5f'(r) = 2592 r - 6 r^5.
42 puncte
Setăm f′(r)=0f'(r) = 0: 2592r−6r5=02592 r - 6 r^5 = 0 implică 6r(432−r4)=06r(432 - r^4) = 0, deci r4=432r^4 = 432 și r=4324=624r = \sqrt[4]{432} = 6\sqrt[4]{2} cm. Atunci h=1296r2−r2=1296362−362=624h = \sqrt{\frac{1296}{r^2} - r^2} = \sqrt{\frac{1296}{36\sqrt{2}} - 36\sqrt{2}} = 6\sqrt[4]{2} cm. Se verifică că acesta este un maxim, de exemplu, analizând semnul derivatei a doua sau comportamentul funcției.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Arii și volume

Mediu#1Arii și volumeFuncția de gradul al II-leaAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Trebuie construit un moviliu de cale ferată lung de 100 m, a cărui secțiune transversală este un trapez isoscel cu baza inferioară 5 m5\mathrm{\,m}, baza superioară cel puţin 2 m2\mathrm{\,m} şi panta laterală de 45∘45^\circ. Determinaţi înălţimea hh a moviliului astfel încât volumul excavărilor să fie cel puţin 400 m3400\mathrm{\,m^3} şi cel mult 500 m3500\mathrm{\,m^3}.
Mediu#2Arii și volumeAplicații ale derivatelor
Determinați volumul maxim VV al unui con având generatoarea de lungime aa.
Mediu#3Arii și volumeAplicații ale derivatelorTrigonometrie
Dintr-un cerc se taie un sector cu unghiul central α\alpha. Din partea rămasă a cercului se construiește un con. Pentru ce valoare a lui α\alpha volumul conului este maxim?
Greu#4Arii și volumeAplicații ale trigonometriei în geometrieAplicații ale derivatelor
Baza unei piramide este un triunghi isoscel cu unghiul de la bază α\alpha. Fiecare dintre unghiurile diedre de la bază este egal cu φ\varphi. Raza sferei înscrise în piramidă este RR. Determinați volumul piramidei. Pentru ce valoare a lui α\alpha volumul piramidei este minim?
Vezi toate problemele de Arii și volume →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Arii și volume cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.