MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeInducție matematicăStudiul funcțiilor
Se consideră șirul (xn)n≥1(x_n)_{n \geq 1} definit prin x1=2x_1 = 2 și xn+1=xn+3xn+1x_{n+1} = \frac{x_n + 3}{x_n + 1} pentru orice n≥1n \geq 1. Studiați convergența acestui șir și determinați limita sa.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Arătați prin inducție matematică că 1<xn<31 < x_n < 3 pentru toți n≥1n \geq 1, deci șirul este mărginit.
23 puncte
Studiați monotonia: considerați funcția f(x)=x+3x+1f(x) = \frac{x+3}{x+1} și demonstrați că f(x)>xf(x) > x pentru x∈(1,3)x \in (1,3), deci șirul este crescător (sau folosiți inducția direct).
32 puncte
Aplicați teorema convergenței monotone: șirul este convergent deoarece este mărginit și monoton.
42 puncte
Fie L=lim⁡n→∞xnL = \lim_{n \to \infty} x_n; din relația de recurență, obțineți L=L+3L+1L = \frac{L+3}{L+1}, rezolvând ecuația L2+L=L+3L^2 + L = L+3 pentru a găsi L=3L = \sqrt{3} (se exclude L=−3L = -\sqrt{3} deoarece termenii sunt pozitivi).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.