MediuAlgebră și Calcule cu Numere RealeClasa 11

Problemă rezolvată de Algebră și Calcule cu Numere Reale

MediuAlgebră și Calcule cu Numere RealeȘiruri de numere reale
Fie șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=1a_1 = 1 și an+1=2+ana_{n+1} = \sqrt{2 + a_n} pentru orice n≥1n \geq 1. Arătați că șirul este convergent și calculați limita sa.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Arătăm prin inducție că an>0a_n > 0 pentru toți nn și că an<2a_n < 2 pentru toți nn, deci șirul este mărginit.
23 puncte
Arătăm că șirul este strict crescător. Calculăm an+1−an=2+an−ana_{n+1} - a_n = \sqrt{2 + a_n} - a_n. Folosind faptul că an<2a_n < 2, putem arăta că această diferență este pozitivă (de exemplu, prin ridicare la pătrat sau analiză funcțională).
33 puncte
Deoarece șirul este mărginit și monoton, conform teoremei de convergență a șirurilor monotone, este convergent. Notăm limita L=lim⁡n→∞anL = \lim_{n \to \infty} a_n.
42 puncte
Din relația de recurență, trecând la limită, avem L=2+LL = \sqrt{2 + L}. Rezolvăm ecuația L2=2+LL^2 = 2 + L, adică L2−L−2=0L^2 - L - 2 = 0, cu soluțiile L=2L = 2 sau L=−1L = -1. Deoarece an>0a_n > 0, limita este L=2L = 2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Algebră și Calcule cu Numere Reale

Ușor#1Algebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația ∣x+2∣=2(3−x)|x + 2| = 2(3 - x).
Ușor#2Algebră și Calcule cu Numere RealeFuncția de gradul I
Rezolvați ecuația ∣3x−2∣+x=11.|3x - 2| + x = 11.
Ușor#3Algebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația ∣x∣−∣x−2∣=2.|x| - |x - 2| = 2.
Ușor#4Algebră și Calcule cu Numere RealeFuncția de gradul I
Determinați cea mai mică valoare întreagă a lui x pentru care ∣x−3∣+2∣x+1∣=4.|x - 3| + 2|x + 1| = 4.
Vezi toate problemele de Algebră și Calcule cu Numere Reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Algebră și Calcule cu Numere Reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.