MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeMonotonie și convexitateLogaritmi
Fie șirul (xn)n≥1(x_n)_{n \geq 1} definit prin x1=10x_1 = 10 și xn+1=xn2+1x_{n+1} = \frac{x_n}{2} + 1 pentru n≥1n \geq 1. Studiați convergența șirului (xn)(x_n) (monotonie și mărginire) și determinați limita sa L. Apoi găsiți cel mai mic număr natural n pentru care ∣xn−L∣<0.01|x_n - L| < 0.01.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Se arată că șirul este mărginit. Prin inducție: pentru n=1n=1, x1=10>0x_1=10 > 0. Presupunem 0<xn<100 < x_n < 10, atunci xn+1=xn2+1x_{n+1} = \frac{x_n}{2} + 1 dă 1<xn+1<61 < x_{n+1} < 6, deci 0<xn+1<100 < x_{n+1} < 10. Astfel, șirul este mărginit între 0 și 10.
23 puncte
Se studiază monotonitatea. Calculăm xn+1−xn=1−xn2x_{n+1} - x_n = 1 - \frac{x_n}{2}. Deoarece xn>0x_n > 0, dacă xn>2x_n > 2, atunci xn+1−xn<0x_{n+1} - x_n < 0. Cu x1=10>2x_1=10 > 2, prin inducție, șirul este strict descrescător.
32 puncte
Șirul este monoton descrescător și mărginit, deci convergent. Fie L limita. Din xn+1=xn2+1x_{n+1} = \frac{x_n}{2} + 1, la limită, L=L2+1L = \frac{L}{2} + 1, rezultă L=2L = 2.
42 puncte
Se deduce formula xn−2=xn−1−22=⋯=x1−22n−1=82n−1x_n - 2 = \frac{x_{n-1} - 2}{2} = \cdots = \frac{x_1 - 2}{2^{n-1}} = \frac{8}{2^{n-1}}, deci xn=2+82n−1x_n = 2 + \frac{8}{2^{n-1}}. Rezolvăm ∣xn−2∣<0.01|x_n - 2| < 0.01: 82n−1<0.01⇒2n−1>800⇒n−1>log⁡2800≈9.64⇒n≥11\frac{8}{2^{n-1}} < 0.01 \Rightarrow 2^{n-1} > 800 \Rightarrow n-1 > \log_2 800 \approx 9.64 \Rightarrow n \geq 11. Cel mai mic n este 11.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.