MediuProgresii AritmeticeClasa 10

Problemă rezolvată de Progresii Aritmetice

MediuProgresii AritmeticeProgresii GeometriceLogaritmi
Se consideră progresia aritmetică (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} cu primul termen a1a_1 și rația rr. Știind că a1,a2,a4a_1, a_2, a_4 sunt termenii unei progresii geometrice, iar log⁡3(a1+1),log⁡3(a2+1),log⁡3(a4+1)\log_{3}(a_1 + 1), \log_{3}(a_2 + 1), \log_{3}(a_4 + 1) sunt în progresie aritmetică, determinați a1a_1 și rr.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Scriem termenii progresiei aritmetice: a1=aa_1 = a, a2=a+ra_2 = a + r, a4=a+3ra_4 = a + 3r.
23 puncte
Din condiția progresiei geometrice, avem (a+r)2=a(a+3r)(a + r)^2 = a(a + 3r).
33 puncte
Din condiția progresiei aritmetice a logaritmilor, avem 2log⁡3(a+r+1)=log⁡3(a+1)+log⁡3(a+3r+1)2 \log_{3}(a + r + 1) = \log_{3}(a + 1) + \log_{3}(a + 3r + 1), ceea ce implică (a+r+1)2=(a+1)(a+3r+1)(a + r + 1)^2 = (a + 1)(a + 3r + 1).
42 puncte
Rezolvăm sistemul de ecuații obținut din step 2 și step 3 pentru a găsi aa și rr.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Progresii Aritmetice

Ușor#1Progresii AritmeticeEcuații exponentialeFuncția de gradul al II-lea
Rezolvați inegalitatea (0.3)2+4+6+⋯+2x>(0.3)72, x∈N(0.3)^{2+4+6+\dots+2x}>(0.3)^{72},\ x\in\mathbb{N}.
Ușor#2Progresii AritmeticeSisteme de Ecuații Liniare
Găsiți primul termen a1a_1 și diferența comună dd ale progresiei aritmetice {an}\{a_n\} în care sunt adevărate ecuațiile a2+a5−a3=10a_2 + a_5 - a_3 = 10 și a2+a9=17a_2 + a_9 = 17.
Ușor#3Progresii AritmeticeȘiruri de numere reale
Arătați că șirul {an}\{a_n\} este o progresie aritmetică, știind că suma primelor nn termene este Sn=2n2+3nS_n = 2n^2 + 3n.
Ușor#4Progresii AritmeticeȘiruri de numere realeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Determinați primele trei termene ale progresiei aritmetice a cărei sumă a primelor nn termene este Sn=4n2−3nS_n = 4n^2 - 3n, pentru orice nn.
Vezi toate problemele de Progresii Aritmetice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Progresii Aritmetice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.