MediuPrimitiveClasa 12

Problemă rezolvată de Primitive

MediuPrimitiveAlgebră și Calcule cu Numere RealeFuncția de gradul al II-lea
Să se determine primitiva funcției f(x)=2x2+3x−1(x−1)(x2+1)f(x) = \frac{2x^2 + 3x - 1}{(x-1)(x^2+1)} care se anulează în punctul x=0x=0.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Descompunerea funcției în fracții simple: se scrie f(x)=Ax−1+Bx+Cx2+1f(x) = \frac{A}{x-1} + \frac{Bx+C}{x^2+1} și se rezolvă sistemul pentru A,B,CA, B, C, obținând A=1A=1, B=1B=1, C=2C=2.
24 puncte
Integrarea fiecărei părți: ∫1x−1 dx=ln⁡∣x−1∣\int \frac{1}{x-1} \, dx = \ln|x-1|, ∫x+2x2+1 dx=12ln⁡(x2+1)+2arctan⁡x\int \frac{x+2}{x^2+1} \, dx = \frac{1}{2} \ln(x^2+1) + 2 \arctan x.
33 puncte
Formarea primitiei generale: F(x)=ln⁡∣x−1∣+12ln⁡(x2+1)+2arctan⁡x+CF(x) = \ln|x-1| + \frac{1}{2} \ln(x^2+1) + 2 \arctan x + C, și aplicarea condiției F(0)=0F(0)=0 dă C=0C = 0, deci primitiva este F(x)=ln⁡∣x−1∣+12ln⁡(x2+1)+2arctan⁡xF(x) = \ln|x-1| + \frac{1}{2} \ln(x^2+1) + 2 \arctan x.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Primitive

Ușor#1PrimitiveDerivate
Găsiți F(x)F(x) știind că F′(x)=4x+1F'(x) = 4x + 1 și F(−1)=2F(-1) = 2.
Ușor#2PrimitiveDerivate
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 3x2−4x3x^2 - 4x și F(0)=1F(0) = 1.
Ușor#3PrimitiveDerivatePolinoame
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 7x2−2x+37x^2 - 2x + 3 și graficul lui F trece prin punctul M(1,5)M(1,5).
Ușor#4PrimitiveTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 1 + x + cos 2x și F(0) = 1.
Vezi toate problemele de Primitive →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Primitive cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.