MediuStudiul funcțiilorClasa 11

Problemă rezolvată de Studiul funcțiilor

MediuStudiul funcțiilorDerivateAsimptote
Studiați funcția f:D→Rf: D \to \mathbb{R}, f(x)=x2−1x−2f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 2}. Determinați domeniul de definiție, asimptotele, intervalele de monotonie și extremele locale.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Domeniul de definiție: D=R∖{2}D = \mathbb{R} \setminus \{2\} deoarece numitorul x−2≠0x-2 \neq 0.\n
23 puncte
Asimptotele: verticală în x=2x=2, deoarece lim⁡x→2−f(x)=−∞\lim_{x \to 2^-} f(x) = -\infty și lim⁡x→2+f(x)=+∞\lim_{x \to 2^+} f(x) = +\infty; oblică: se calculează m=lim⁡x→∞f(x)x=1m = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = 1 și n=lim⁡x→∞(f(x)−mx)=2n = \lim_{x \to \infty} (f(x) - mx) = 2, deci y=x+2y = x+2.\n
33 puncte
Derivata: f′(x)=(2x)(x−2)−(x2−1)(x−2)2=x2−4x+1(x−2)2f'(x) = \frac{(2x)(x-2) - (x^2-1)}{(x-2)^2} = \frac{x^2 - 4x + 1}{(x-2)^2}. Ecuația f′(x)=0f'(x)=0 dă x=2±3x = 2 \pm \sqrt{3}. Studiul semnului: f′(x)>0f'(x) > 0 pe (−∞,2−3)(-\infty, 2-\sqrt{3}) și (2+3,∞)(2+\sqrt{3}, \infty) (funcție crescătoare), f′(x)<0f'(x) < 0 pe (2−3,2)(2-\sqrt{3}, 2) și (2,2+3)(2, 2+\sqrt{3}) (funcție descrescătoare).\n
42 puncte
Extremele: maxim local în x=2−3x = 2-\sqrt{3}, f(2−3)=23−2f(2-\sqrt{3}) = 2\sqrt{3} - 2; minim local în x=2+3x = 2+\sqrt{3}, f(2+3)=−23−2f(2+\sqrt{3}) = -2\sqrt{3} - 2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Studiul funcțiilor

Ușor#1Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→6x+3−3x−6\lim_{x\to 6}\frac{\sqrt{x+3}-3}{x-6}.
Mediu#2Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→2[(x3−4xx3−8)−1−(x+2xx−2−2x−2)−1]\lim_{x\to2}\left[\left(\frac{x^3 - 4x}{x^3 - 8}\right)^{-1} - \left(\frac{x + \sqrt{2x}}{x - 2} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x} - \sqrt{2}}\right)^{-1}\right]
Ușor#3Studiul funcțiilorAsimptote
Calculați limita lim⁡x→∞(3x5x−1−2x2+1x2+2x−1)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{3x}{5x - 1} - \frac{2x^2 + 1}{x^2 + 2x - 1}\right).
Ușor#4Studiul funcțiilorPolinoame
Calculați limita lim⁡x→∞(2x2+7x−26x3−4x+3)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{2x^2 + 7x - 2}{6x^3 - 4x + 3}\right).
Vezi toate problemele de Studiul funcțiilor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Studiul funcțiilor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.