MediuProgresii AritmeticeClasa 11

Problemă rezolvată de Progresii Aritmetice

MediuProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere RealeSisteme de Ecuații Liniare
Fie (an)(a_n) o progresie aritmetică cu primul termen a1a_1 și rația rr. Dacă a2+a4=14a_2 + a_4 = 14 și a3⋅a5=45a_3 \cdot a_5 = 45, determinați a1a_1 și rr, apoi calculați suma S15S_{15} a primilor 15 termeni.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Scriem condițiile folosind formulele progresiei: a2=a1+ra_2 = a_1 + r, a4=a1+3ra_4 = a_1 + 3r, deci a2+a4=2a1+4r=14a_2 + a_4 = 2a_1 + 4r = 14. Similar, a3=a1+2ra_3 = a_1 + 2r, a5=a1+4ra_5 = a_1 + 4r, deci a3⋅a5=(a1+2r)(a1+4r)=45a_3 \cdot a_5 = (a_1 + 2r)(a_1 + 4r) = 45.
24 puncte
Rezolvăm sistemul: 2a1+4r=142a_1 + 4r = 14 și (a1+2r)(a1+4r)=45(a_1 + 2r)(a_1 + 4r) = 45. Din prima ecuație, a1+2r=7a_1 + 2r = 7. Înlocuim în a doua: 7⋅(a1+4r)=457 \cdot (a_1 + 4r) = 45, deci a1+4r=457a_1 + 4r = \frac{45}{7}. Scăzând ecuațiile, obținem 2r=457−7=45−497=−472r = \frac{45}{7} - 7 = \frac{45 - 49}{7} = -\frac{4}{7}, deci r=−27r = -\frac{2}{7}. Atunci a1=7−2r=7−2⋅(−27)=7+47=49+47=537a_1 = 7 - 2r = 7 - 2\cdot(-\frac{2}{7}) = 7 + \frac{4}{7} = \frac{49 + 4}{7} = \frac{53}{7}.
32 puncte
Calculăm suma S15=152⋅(2a1+14r)=152⋅(2⋅537+14⋅(−27))=152⋅(1067−287)=152⋅787=15⋅782⋅7=117014=5857S_{15} = \frac{15}{2} \cdot (2a_1 + 14r) = \frac{15}{2} \cdot \left(2 \cdot \frac{53}{7} + 14 \cdot \left(-\frac{2}{7}\right)\right) = \frac{15}{2} \cdot \left(\frac{106}{7} - \frac{28}{7}\right) = \frac{15}{2} \cdot \frac{78}{7} = \frac{15 \cdot 78}{2 \cdot 7} = \frac{1170}{14} = \frac{585}{7}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Progresii Aritmetice

Ușor#1Progresii AritmeticeEcuații exponentialeFuncția de gradul al II-lea
Rezolvați inegalitatea (0.3)2+4+6+⋯+2x>(0.3)72, x∈N(0.3)^{2+4+6+\dots+2x}>(0.3)^{72},\ x\in\mathbb{N}.
Ușor#2Progresii AritmeticeSisteme de Ecuații Liniare
Găsiți primul termen a1a_1 și diferența comună dd ale progresiei aritmetice {an}\{a_n\} în care sunt adevărate ecuațiile a2+a5−a3=10a_2 + a_5 - a_3 = 10 și a2+a9=17a_2 + a_9 = 17.
Ușor#3Progresii AritmeticeȘiruri de numere reale
Arătați că șirul {an}\{a_n\} este o progresie aritmetică, știind că suma primelor nn termene este Sn=2n2+3nS_n = 2n^2 + 3n.
Ușor#4Progresii AritmeticeȘiruri de numere realeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Determinați primele trei termene ale progresiei aritmetice a cărei sumă a primelor nn termene este Sn=4n2−3nS_n = 4n^2 - 3n, pentru orice nn.
Vezi toate problemele de Progresii Aritmetice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Progresii Aritmetice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.