MediuStudiul funcțiilorClasa 11

Problemă rezolvată de Studiul funcțiilor

MediuStudiul funcțiilorDerivateAsimptote
Fie funcția f:R∖{1}→Rf: \mathbb{R} \setminus \{1\} \to \mathbb{R}, f(x)=x2−2x+3x−1f(x) = \frac{x^2 - 2x + 3}{x-1}. Să se studieze funcția ff: a) determinați domeniul de definiție și comportamentul la limitele domeniului; b) calculați derivata și stabiliți monotonia; c) determinați asimptotele; d) trasați schița graficului.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Determinarea domeniului: R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} și a limitelor: lim⁡x→1−f(x)=−∞\lim_{x \to 1^-} f(x) = -\infty, lim⁡x→1+f(x)=+∞\lim_{x \to 1^+} f(x) = +\infty, lim⁡x→±∞f(x)=±∞\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \pm\infty cu observația pentru asimptota oblică.
23 puncte
Calculul derivatei: f′(x)=(2x−2)(x−1)−(x2−2x+3)(x−1)2=x2−2x−1(x−1)2f'(x) = \frac{(2x-2)(x-1) - (x^2 - 2x + 3)}{(x-1)^2} = \frac{x^2 - 2x - 1}{(x-1)^2}.
33 puncte
Studiul monotoniei: rezolvăm f′(x)=0⇒x2−2x−1=0f'(x) = 0 \Rightarrow x^2 - 2x - 1 = 0, cu soluțiile x=1±2x = 1 \pm \sqrt{2}; se face tabelul de semn și se indică intervalele de creștere și descreștere.
42 puncte
Determinarea asimptotelor: asimptotă verticală x=1x=1; asimptotă oblică: m=lim⁡x→∞f(x)x=1m = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = 1, n=lim⁡x→∞(f(x)−mx)=−1n = \lim_{x \to \infty} (f(x) - mx) = -1, deci y=x−1y = x - 1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Studiul funcțiilor

Ușor#1Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→6x+3−3x−6\lim_{x\to 6}\frac{\sqrt{x+3}-3}{x-6}.
Mediu#2Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→2[(x3−4xx3−8)−1−(x+2xx−2−2x−2)−1]\lim_{x\to2}\left[\left(\frac{x^3 - 4x}{x^3 - 8}\right)^{-1} - \left(\frac{x + \sqrt{2x}}{x - 2} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x} - \sqrt{2}}\right)^{-1}\right]
Ușor#3Studiul funcțiilorAsimptote
Calculați limita lim⁡x→∞(3x5x−1−2x2+1x2+2x−1)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{3x}{5x - 1} - \frac{2x^2 + 1}{x^2 + 2x - 1}\right).
Ușor#4Studiul funcțiilorPolinoame
Calculați limita lim⁡x→∞(2x2+7x−26x3−4x+3)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{2x^2 + 7x - 2}{6x^3 - 4x + 3}\right).
Vezi toate problemele de Studiul funcțiilor →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Studiul funcțiilor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.