MediuProgresii AritmeticeClasa 10

Problemă rezolvată de Progresii Aritmetice

MediuProgresii AritmeticeLogaritmiAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Suma primilor nn termeni ai unei progresii aritmetice este Sn=3n2+5nS_n = 3n^2 + 5n. Determinați termenul general ana_n și calculați log⁡2(a10⋅a20)\log_2(a_{10} \cdot a_{20}).

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Știm că Sn=n(2a1+(n−1)r)2S_n = \frac{n(2a_1 + (n-1)r)}{2}. Din Sn=3n2+5nS_n = 3n^2 + 5n, avem n(2a1+(n−1)r)2=3n2+5n\frac{n(2a_1 + (n-1)r)}{2} = 3n^2 + 5n. Simplificăm: 2a1+(n−1)r=6n+102a_1 + (n-1)r = 6n + 10.
23 puncte
Pentru n=1n=1: 2a1=6⋅1+10⇒a1=82a_1 = 6 \cdot 1 + 10 \Rightarrow a_1 = 8. Pentru n=2n=2: 2a1+r=6⋅2+10⇒16+r=22⇒r=62a_1 + r = 6 \cdot 2 + 10 \Rightarrow 16 + r = 22 \Rightarrow r = 6. Deci an=a1+(n−1)r=8+6(n−1)=6n+2a_n = a_1 + (n-1)r = 8 + 6(n-1) = 6n + 2.
32 puncte
Calculăm a10=6⋅10+2=62a_{10} = 6 \cdot 10 + 2 = 62 și a20=6⋅20+2=122a_{20} = 6 \cdot 20 + 2 = 122.
42 puncte
log⁡2(a10⋅a20)=log⁡2(62⋅122)=log⁡2(7564)\log_2(a_{10} \cdot a_{20}) = \log_2(62 \cdot 122) = \log_2(7564). Se poate scrie ca log⁡2(7564)=log⁡2(4⋅1891)=2+log⁡2(1891)\log_2(7564) = \log_2(4 \cdot 1891) = 2 + \log_2(1891), unde 1891=31⋅611891 = 31 \cdot 61, deci răspunsul final este 2+log⁡2(1891)2 + \log_2(1891).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Progresii Aritmetice

Ușor#1Progresii AritmeticeEcuații exponentialeFuncția de gradul al II-lea
Rezolvați inegalitatea (0.3)2+4+6+⋯+2x>(0.3)72, x∈N(0.3)^{2+4+6+\dots+2x}>(0.3)^{72},\ x\in\mathbb{N}.
Ușor#2Progresii AritmeticeSisteme de Ecuații Liniare
Găsiți primul termen a1a_1 și diferența comună dd ale progresiei aritmetice {an}\{a_n\} în care sunt adevărate ecuațiile a2+a5−a3=10a_2 + a_5 - a_3 = 10 și a2+a9=17a_2 + a_9 = 17.
Ușor#3Progresii AritmeticeȘiruri de numere reale
Arătați că șirul {an}\{a_n\} este o progresie aritmetică, știind că suma primelor nn termene este Sn=2n2+3nS_n = 2n^2 + 3n.
Ușor#4Progresii AritmeticeȘiruri de numere realeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Determinați primele trei termene ale progresiei aritmetice a cărei sumă a primelor nn termene este Sn=4n2−3nS_n = 4n^2 - 3n, pentru orice nn.
Vezi toate problemele de Progresii Aritmetice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Progresii Aritmetice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.