MediuPrimitiveClasa 12

Problemă rezolvată de Primitive

MediuPrimitiveTrigonometrieAplicații ale derivatelor
Determinați toate primitivele funcției f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R} definită prin f(x)=e2xsin⁡3xf(x) = e^{2x} \sin 3x.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Se notează I=∫e2xsin⁡3xdxI = \int e^{2x} \sin 3x dx. Se aplică integrarea prin părți alegând u=e2xu = e^{2x} și dv=sin⁡3xdxdv = \sin 3x dx, obținând du=2e2xdxdu = 2e^{2x} dx și v=−13cos⁡3xv = -\frac{1}{3} \cos 3x. Atunci I=−13e2xcos⁡3x+23∫e2xcos⁡3xdxI = -\frac{1}{3} e^{2x} \cos 3x + \frac{2}{3} \int e^{2x} \cos 3x dx.
24 puncte
Pentru integrala ∫e2xcos⁡3xdx\int e^{2x} \cos 3x dx, se aplică din nou integrarea prin părți cu u=e2xu = e^{2x} și dv=cos⁡3xdxdv = \cos 3x dx, obținând du=2e2xdxdu = 2e^{2x} dx și v=13sin⁡3xv = \frac{1}{3} \sin 3x. Se ajunge la I=−13e2xcos⁡3x+23(13e2xsin⁡3x−23∫e2xsin⁡3xdx)I = -\frac{1}{3} e^{2x} \cos 3x + \frac{2}{3} \left( \frac{1}{3} e^{2x} \sin 3x - \frac{2}{3} \int e^{2x} \sin 3x dx \right).
33 puncte
Se notează din nou I=∫e2xsin⁡3xdxI = \int e^{2x} \sin 3x dx și se rezolvă ecuația I=−13e2xcos⁡3x+29e2xsin⁡3x−49II = -\frac{1}{3} e^{2x} \cos 3x + \frac{2}{9} e^{2x} \sin 3x - \frac{4}{9} I. Se obține I=e2x13(2sin⁡3x−3cos⁡3x)+CI = \frac{e^{2x}}{13} (2 \sin 3x - 3 \cos 3x) + C, deci toate primitivele sunt F(x)=e2x13(2sin⁡3x−3cos⁡3x)+CF(x) = \frac{e^{2x}}{13} (2 \sin 3x - 3 \cos 3x) + C.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Primitive

Ușor#1PrimitiveDerivate
Găsiți F(x)F(x) știind că F′(x)=4x+1F'(x) = 4x + 1 și F(−1)=2F(-1) = 2.
Ușor#2PrimitiveDerivate
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 3x2−4x3x^2 - 4x și F(0)=1F(0) = 1.
Ușor#3PrimitiveDerivatePolinoame
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 7x2−2x+37x^2 - 2x + 3 și graficul lui F trece prin punctul M(1,5)M(1,5).
Ușor#4PrimitiveTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 1 + x + cos 2x și F(0) = 1.
Vezi toate problemele de Primitive →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Primitive cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.