MediuFuncția de gradul IClasa 10

Problemă rezolvată de Funcția de gradul I

MediuFuncția de gradul IGeometrie Analitică
În planul cartezian, se dau dreptele d1:y=m1x+n1d_1: y = m_1 x + n_1 și d2:y=m2x+n2d_2: y = m_2 x + n_2, unde m1,n1,m2,n2∈Rm_1, n_1, m_2, n_2 \in \mathbb{R}. Fie AA punctul de intersecție al dreptelor d1d_1 și d2d_2. a) Determinați coordonatele punctului AA în funcție de coeficienții m1,n1,m2,n2m_1, n_1, m_2, n_2. b) Găsiți condițiile necesare și suficiente asupra coeficienților astfel încât punctul AA să se afle pe bisectoarea unghiurilor format de axele de coordonate (adică pe dreapta y=xy=x sau y=−xy=-x). Analizați ambele cazuri.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Aflarea coordonatelor punctului AA prin rezolvarea sistemului {y=m1x+n1y=m2x+n2\begin{cases} y = m_1 x + n_1 \\ y = m_2 x + n_2 \end{cases}. Se scade ecuațiile pentru a obține x=n2−n1m1−m2x = \frac{n_2 - n_1}{m_1 - m_2}, apoi y=m1x+n1y = m_1 x + n_1, cu condiția m1≠m2m_1 \neq m_2.
24 puncte
Pentru ca AA să fie pe y=xy=x, se impune x=yx=y, deci n2−n1m1−m2=m1⋅n2−n1m1−m2+n1\frac{n_2 - n_1}{m_1 - m_2} = m_1 \cdot \frac{n_2 - n_1}{m_1 - m_2} + n_1, ceea ce conduce la n2−n1=m1(n2−n1)+n1(m1−m2)n_2 - n_1 = m_1 (n_2 - n_1) + n_1 (m_1 - m_2). Simplificând, se obține condiția (1−m1)(n2−n1)=n1(m1−m2)(1 - m_1)(n_2 - n_1) = n_1 (m_1 - m_2). Pentru y=−xy=-x, se impune x=−yx = -y, rezultând o condiție similară: n2−n1m1−m2=−(m1⋅n2−n1m1−m2+n1)\frac{n_2 - n_1}{m_1 - m_2} = - (m_1 \cdot \frac{n_2 - n_1}{m_1 - m_2} + n_1), care se reduce la (1+m1)(n2−n1)=−n1(m1−m2)(1 + m_1)(n_2 - n_1) = -n_1 (m_1 - m_2).
33 puncte
Discuția cazurilor: dacă m1=m2m_1 = m_2, dreptele sunt paralele și nu au intersecție, deci AA nu există; pentru m1≠m2m_1 \neq m_2, se analizează condițiile obținute, considerând și cazurile particulare când n1=n2n_1 = n_2 sau m1=1m_1 = 1 etc., pentru a deduce relațiile finale între coeficienți.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Funcția de gradul I

Ușor#1Funcția de gradul IMatematică aplicată
O companie de telecomunicații are două tipuri de abonamente: Abonamentul A are o taxă fixă lunară de 50 lei și o taxă de 0.1 lei pe minut de convorbire. Abonamentul B are o taxă fixă lunară de 70 lei și o taxă de 0.08 lei pe minut. Determinați pentru câte minute de convorbire lunare cele două abonamente au același cost. Apoi, studiați care abonament este mai avantajos în funcție de numărul de minute utilizate xx.
Ușor#2Funcția de gradul ISisteme de Ecuații LiniareMatematică aplicată
Pentru un anumit produs, funcția cererii este Qd=100−2PQ_d = 100 - 2P și funcția ofertei este Qs=20+3PQ_s = 20 + 3P, unde PP este prețul în lei și QQ este cantitatea. Să se determine prețul și cantitatea de echilibru. Apoi, dacă guvernul introduce o taxă de 5 lei per unitate, care va fi noul preț de echilibru plătit de consumatori și cantitatea de echilibru?
Mediu#3Funcția de gradul IGeometrie AnaliticăSisteme de Ecuații Liniare
Fie funcțiile f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=(m−1)x+nf(x) = (m-1)x + n și g:R→Rg: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, g(x)=(2−m)x+pg(x) = (2-m)x + p, unde m,n,p∈Rm, n, p \in \mathbb{R}. Determinați m,n,pm, n, p astfel încât graficul lui ff să fie paralel cu dreapta y=3x−1y = 3x - 1, graficul lui gg să treacă prin punctul A(−1,4)A(-1,4), iar punctul de intersecție al graficelor lui ff și gg să aibă abscisa egală cu ordonata.
Ușor#4Funcția de gradul ISisteme de Ecuații LiniareAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=ax+bf(x) = ax + b. Știind că f(1)+f(2)+f(3)=12f(1) + f(2) + f(3) = 12 și f(1)⋅f(2)⋅f(3)=60f(1) \cdot f(2) \cdot f(3) = 60, determinați aa și bb.
Vezi toate problemele de Funcția de gradul I →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Funcția de gradul I cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.