MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeLogaritmiAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră șirul (pn)n≥1(p_n)_{n \geq 1} definit prin pn=∏k=1n(1+1k2)p_n = \prod_{k=1}^{n} \left(1 + \frac{1}{k^2}\right). a) Să se arate că șirul (pn)(p_n) este convergent. b) Să se determine lim⁡n→∞ln⁡(pn)\lim_{n \to \infty} \ln(p_n).

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Se consideră logaritmul natural: ln⁡(pn)=∑k=1nln⁡(1+1k2)\ln(p_n) = \sum_{k=1}^{n} \ln\left(1 + \frac{1}{k^2}\right).
23 puncte
Pentru a studia convergența, se observă că pentru orice k≥1k \geq 1, ln⁡(1+1k2)≤1k2\ln\left(1 + \frac{1}{k^2}\right) \leq \frac{1}{k^2} (deoarece ln⁡(1+x)≤x\ln(1+x) \leq x pentru x>0x > 0). Seria ∑k=1∞1k2\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2} este convergentă (seria armonică generalizată cu exponent 2). Prin criteriul de comparație, seria ∑k=1∞ln⁡(1+1k2)\sum_{k=1}^{\infty} \ln\left(1 + \frac{1}{k^2}\right) este convergentă, deci șirul sumelor parțiale este convergent, iar ln⁡(pn)\ln(p_n) converge. Cum funcția exponențială este continuă, șirul pn=eln⁡(pn)p_n = e^{\ln(p_n)} este convergent.
32 puncte
Limita lim⁡n→∞ln⁡(pn)\lim_{n \to \infty} \ln(p_n) este egală cu suma seriei convergente: ∑k=1∞ln⁡(1+1k2)\sum_{k=1}^{\infty} \ln\left(1 + \frac{1}{k^2}\right).
42 puncte
Deoarece seria este convergentă, limita există și este finită. Răspunsul: lim⁡n→∞ln⁡(pn)=∑k=1∞ln⁡(1+1k2)\lim_{n \to \infty} \ln(p_n) = \sum_{k=1}^{\infty} \ln\left(1 + \frac{1}{k^2}\right).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.