MediuStudiul funcțiilorClasa 12

Problemă rezolvată de Studiul funcțiilor

MediuStudiul funcțiilorDerivateIntegrale definite
Se consideră funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=12ln⁡(1+x2)f(x) = \frac{1}{2} \ln(1+x^2). a) Determinați domeniul de definiție al funcției. b) Calculați derivatele de ordinul I și II. c) Studiați monotonia și convexitatea funcției pe R\mathbb{R}. d) Determinați asimptotele funcției. e) Calculați ∫01f(x)dx\int_0^1 f(x) dx.

Rezolvare completă

10 puncte · 7 pași
11 punct
Domeniul de definiție: Df=RD_f = \mathbb{R} deoarece 1+x2>01+x^2 > 0 pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R}.
21 punct
Derivata de ordinul I: f′(x)=ddx[12ln⁡(1+x2)]=12⋅2x1+x2=x1+x2f'(x) = \frac{d}{dx} \left[ \frac{1}{2} \ln(1+x^2) \right] = \frac{1}{2} \cdot \frac{2x}{1+x^2} = \frac{x}{1+x^2}.
31 punct
Derivata de ordinul II: f′′(x)=ddx[x1+x2]=1⋅(1+x2)−x⋅2x(1+x2)2=1+x2−2x2(1+x2)2=1−x2(1+x2)2f''(x) = \frac{d}{dx} \left[ \frac{x}{1+x^2} \right] = \frac{1 \cdot (1+x^2) - x \cdot 2x}{(1+x^2)^2} = \frac{1+x^2 - 2x^2}{(1+x^2)^2} = \frac{1 - x^2}{(1+x^2)^2}.
42 puncte
Studiul monotoniei: f′(x)=0f'(x) = 0 pentru x=0x=0. Pentru x<0x < 0, f′(x)<0f'(x) < 0, deci f descrescătoare pe (−∞,0)(-\infty,0); pentru x>0x > 0, f′(x)>0f'(x) > 0, deci f crescătoare pe (0,∞)(0,\infty).
52 puncte
Studiul convexității: f′′(x)=0f''(x) = 0 pentru x=±1x = \pm 1. Pentru x∈(−1,1)x \in (-1,1), f′′(x)>0f''(x) > 0, deci f convexă; pentru x∈(−∞,−1)∪(1,∞)x \in (-\infty,-1) \cup (1,\infty), f′′(x)<0f''(x) < 0, deci f concavă.
61 punct
Asimptotele: lim⁡x→±∞f(x)=+∞\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = +\infty, iar lim⁡x→±∞f(x)x=0\lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = 0, dar lim⁡x→±∞[f(x)−0⋅x]=+∞\lim_{x \to \pm\infty} [f(x) - 0 \cdot x] = +\infty, deci nu există asimptote orizontale sau oblice.
72 puncte
Calculul integralei: ∫01f(x)dx=∫0112ln⁡(1+x2)dx=12∫01ln⁡(1+x2)dx\int_0^1 f(x) dx = \int_0^1 \frac{1}{2} \ln(1+x^2) dx = \frac{1}{2} \int_0^1 \ln(1+x^2) dx. Se folosește integrarea prin părți: fie u=ln⁡(1+x2)u = \ln(1+x^2), dv=dxdv = dx, atunci du=2x1+x2dxdu = \frac{2x}{1+x^2} dx, v=xv = x. Deci ∫01ln⁡(1+x2)dx=[xln⁡(1+x2)]01−∫01x⋅2x1+x2dx=ln⁡2−2∫01x21+x2dx\int_0^1 \ln(1+x^2) dx = [x \ln(1+x^2)]_0^1 - \int_0^1 x \cdot \frac{2x}{1+x^2} dx = \ln 2 - 2 \int_0^1 \frac{x^2}{1+x^2} dx. Dar ∫01x21+x2dx=∫01(1−11+x2)dx=[x−arctan⁡x]01=(1−π4)−(0−0)=1−π4\int_0^1 \frac{x^2}{1+x^2} dx = \int_0^1 \left(1 - \frac{1}{1+x^2}\right) dx = [x - \arctan x]_0^1 = (1 - \frac{\pi}{4}) - (0 - 0) = 1 - \frac{\pi}{4}. Așadar, ∫01ln⁡(1+x2)dx=ln⁡2−2(1−π4)=ln⁡2−2+π2\int_0^1 \ln(1+x^2) dx = \ln 2 - 2(1 - \frac{\pi}{4}) = \ln 2 - 2 + \frac{\pi}{2}, iar ∫01f(x)dx=12(ln⁡2−2+π2)=12ln⁡2−1+π4\int_0^1 f(x) dx = \frac{1}{2} (\ln 2 - 2 + \frac{\pi}{2}) = \frac{1}{2} \ln 2 - 1 + \frac{\pi}{4}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Studiul funcțiilor

Ușor#1Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→6x+3−3x−6\lim_{x\to 6}\frac{\sqrt{x+3}-3}{x-6}.
Mediu#2Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→2[(x3−4xx3−8)−1−(x+2xx−2−2x−2)−1]\lim_{x\to2}\left[\left(\frac{x^3 - 4x}{x^3 - 8}\right)^{-1} - \left(\frac{x + \sqrt{2x}}{x - 2} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x} - \sqrt{2}}\right)^{-1}\right]
Ușor#3Studiul funcțiilorAsimptote
Calculați limita lim⁡x→∞(3x5x−1−2x2+1x2+2x−1)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{3x}{5x - 1} - \frac{2x^2 + 1}{x^2 + 2x - 1}\right).
Ușor#4Studiul funcțiilorPolinoame
Calculați limita lim⁡x→∞(2x2+7x−26x3−4x+3)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{2x^2 + 7x - 2}{6x^3 - 4x + 3}\right).
Vezi toate problemele de Studiul funcțiilor →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Studiul funcțiilor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.