MediuStudiul funcțiilorClasa 11

Problemă rezolvată de Studiul funcțiilor

MediuStudiul funcțiilorDerivateAsimptote
Se consideră funcția f:R∖{0}→Rf: \mathbb{R} \setminus \{0\} \to \mathbb{R}, f(x)=x2+axf(x) = \frac{x^2 + a}{x}, unde aa este un parametru real. a) Pentru a=1a=1, studiați funcția: determinați domeniul de definiție, asimptotele (verticale, orizontale sau oblice), monotonia și punctele de extrem. b) Determinați valoarea parametrului aa astfel încât graficul funcției să admită asimptotă oblică spre +∞+\infty cu panta egală cu 2.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
11 punct
Domeniul de definiție este R∖{0}\mathbb{R} \setminus \{0\} deoarece numitorul nu poate fi zero.
22 puncte
Pentru a=1a=1, asimptota verticală: x=0x=0 deoarece lim⁡x→0f(x)=∞\lim_{x \to 0} f(x) = \infty; asimptota oblică: y=xy = x deoarece lim⁡x→±∞[f(x)−x]=lim⁡x→±∞1x=0\lim_{x \to \pm\infty} [f(x) - x] = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{x} = 0.
32 puncte
Derivata f′(x)=1−1x2f'(x) = 1 - \frac{1}{x^2}; semnul: f′(x)>0f'(x) > 0 pentru x∈(−∞,−1)∪(1,∞)x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty) (funcție crescătoare), f′(x)<0f'(x) < 0 pentru x∈(−1,0)∪(0,1)x \in (-1, 0) \cup (0, 1) (funcție descrescătoare).
41 punct
Punctele de extrem: maxim local la x=−1x=-1 cu f(−1)=−2f(-1)=-2, minim local la x=1x=1 cu f(1)=2f(1)=2.
54 puncte
Pentru partea b, asimptota oblică spre +∞+\infty are panta m=lim⁡x→+∞f(x)x=lim⁡x→+∞x2+ax2=1m = \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 + a}{x^2} = 1, dar se cere panta 2, deci lim⁡x→+∞f(x)x=2⇒lim⁡x→+∞x2+ax2=2⇒1=2\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = 2 \Rightarrow \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 + a}{x^2} = 2 \Rightarrow 1 = 2, imposibil. Corect: pentru a avea asimptotă oblică cu panta 2, funcția trebuie să fie de forma f(x)=2x+b+cx+...f(x) = 2x + b + \frac{c}{x} + ...; comparând cu f(x)=x2+ax=x+axf(x) = \frac{x^2 + a}{x} = x + \frac{a}{x}, panta este 1, deci nu există aa real pentru care panta să fie 2. Se observă că lim⁡x→+∞f(x)x=1\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = 1 întotdeauna, deci condiția nu poate fi îndeplinită, răspuns: nu există aa.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Studiul funcțiilor

Ușor#1Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→6x+3−3x−6\lim_{x\to 6}\frac{\sqrt{x+3}-3}{x-6}.
Mediu#2Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→2[(x3−4xx3−8)−1−(x+2xx−2−2x−2)−1]\lim_{x\to2}\left[\left(\frac{x^3 - 4x}{x^3 - 8}\right)^{-1} - \left(\frac{x + \sqrt{2x}}{x - 2} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x} - \sqrt{2}}\right)^{-1}\right]
Ușor#3Studiul funcțiilorAsimptote
Calculați limita lim⁡x→∞(3x5x−1−2x2+1x2+2x−1)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{3x}{5x - 1} - \frac{2x^2 + 1}{x^2 + 2x - 1}\right).
Ușor#4Studiul funcțiilorPolinoame
Calculați limita lim⁡x→∞(2x2+7x−26x3−4x+3)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{2x^2 + 7x - 2}{6x^3 - 4x + 3}\right).
Vezi toate problemele de Studiul funcțiilor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Studiul funcțiilor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.