MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeMonotonie și convexitateAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră șirul (xn)n≥1(x_n)_{n \geq 1} definit prin x1=1x_1 = 1 și xn+1=xn2+2x_{n+1} = \sqrt{x_n^2 + 2} pentru orice n≥1n \geq 1. Arătați că șirul este strict crescător și că lim⁡n→∞xn=+∞\lim_{n \to \infty} x_n = +\infty.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Se demonstrează prin inducție matematică că xn>0x_n > 0 pentru toți n≥1n \geq 1, folosind x1=1>0x_1 = 1 > 0 și dacă xn>0x_n > 0, atunci xn+1=xn2+2>0x_{n+1} = \sqrt{x_n^2 + 2} > 0.
23 puncte
Se arată că xn+1>xnx_{n+1} > x_n pentru orice n≥1n \geq 1, observând că xn2+2>xn\sqrt{x_n^2 + 2} > x_n, deoarece xn2+2>xn2x_n^2 + 2 > x_n^2 și rădăcina pătrată este crescătoare.
33 puncte
Se presupune că șirul este mărginit superior. Fiind crescător, ar converge la o limită finită LL. Trecând la limită în relația de recurență, se obține L=L2+2L = \sqrt{L^2 + 2}, de unde L2=L2+2L^2 = L^2 + 2, adică 0=20=2, contradicție.
42 puncte
Prin urmare, șirul nu este mărginit superior. Împreună cu monotonia, rezultă că lim⁡n→∞xn=+∞\lim_{n \to \infty} x_n = +\infty.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.