MediuStudiul funcțiilorClasa 12

Problemă rezolvată de Studiul funcțiilor

MediuStudiul funcțiilorDerivateIntegrale definite
Se consideră funcția f:(0,∞)→Rf: (0, \infty) \to \mathbb{R}, f(x)=xln⁡xf(x) = x \ln x. a) Determinați domeniul de definiție și calculați lim⁡x→0+f(x)\lim_{x \to 0^+} f(x) și lim⁡x→∞f(x)\lim_{x \to \infty} f(x). b) Studiați existența asimptotelor. c) Studiați monotonía și convexitatea funcției. d) Calculați ∫1ef(x) dx\int_1^e f(x) \, dx.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Domeniul este (0,∞)(0, \infty) deoarece ln⁡x\ln x este definit pentru x>0x>0. lim⁡x→0+f(x)=lim⁡x→0+xln⁡x=0\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} x \ln x = 0 (folosind regula lui l'Hôpital sau cunoscută limită: lim⁡x→0+xln⁡x=0\lim_{x \to 0^+} x \ln x = 0). lim⁡x→∞f(x)=∞\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty.
22 puncte
Nu există asimptote verticale deoarece funcția este continuă pe (0,∞)(0, \infty) și limita la 0+0^+ este finită. Nu există asimptote orizontale deoarece limita la infinit este infinită. Asimptotă oblică: m=lim⁡x→∞f(x)x=lim⁡x→∞ln⁡x=∞m = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \ln x = \infty, deci nu există asimptotă oblică.
33 puncte
f′(x)=ln⁡x+1f'(x) = \ln x + 1. f′(x)=0⇒ln⁡x=−1⇒x=e−1f'(x) = 0 \Rightarrow \ln x = -1 \Rightarrow x = e^{-1}. Pentru x∈(0,e−1)x \in (0, e^{-1}), f′(x)<0f'(x) < 0, funcție descrescătoare; pentru x>e−1x > e^{-1}, f′(x)>0f'(x) > 0, funcție crescătoare. Punct de minim la x=e−1x = e^{-1}, f(e−1)=−e−1f(e^{-1}) = -e^{-1}. f′′(x)=1x>0f''(x) = \frac{1}{x} > 0 pentru x>0x>0, deci funcția este convexă pe (0,∞)(0, \infty).
43 puncte
∫1exln⁡x dx\int_1^e x \ln x \, dx. Se integrează prin părți: alegem u=ln⁡xu = \ln x, dv=xdxdv = x dx, deci du=1xdxdu = \frac{1}{x} dx, v=x22v = \frac{x^2}{2}. Atunci ∫1exln⁡x dx=[x22ln⁡x]1e−∫1ex2dx=e22⋅1−0−[x24]1e=e22−(e24−14)=e24+14\int_1^e x \ln x \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} \ln x \right]_1^e - \int_1^e \frac{x}{2} dx = \frac{e^2}{2} \cdot 1 - 0 - \left[ \frac{x^2}{4} \right]_1^e = \frac{e^2}{2} - \left( \frac{e^2}{4} - \frac{1}{4} \right) = \frac{e^2}{4} + \frac{1}{4}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Studiul funcțiilor

Ușor#1Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→6x+3−3x−6\lim_{x\to 6}\frac{\sqrt{x+3}-3}{x-6}.
Mediu#2Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→2[(x3−4xx3−8)−1−(x+2xx−2−2x−2)−1]\lim_{x\to2}\left[\left(\frac{x^3 - 4x}{x^3 - 8}\right)^{-1} - \left(\frac{x + \sqrt{2x}}{x - 2} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x} - \sqrt{2}}\right)^{-1}\right]
Ușor#3Studiul funcțiilorAsimptote
Calculați limita lim⁡x→∞(3x5x−1−2x2+1x2+2x−1)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{3x}{5x - 1} - \frac{2x^2 + 1}{x^2 + 2x - 1}\right).
Ușor#4Studiul funcțiilorPolinoame
Calculați limita lim⁡x→∞(2x2+7x−26x3−4x+3)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{2x^2 + 7x - 2}{6x^3 - 4x + 3}\right).
Vezi toate problemele de Studiul funcțiilor →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Studiul funcțiilor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.