MediuStudiul funcțiilorClasa 11

Problemă rezolvată de Studiul funcțiilor

MediuStudiul funcțiilorMonotonie și convexitateMatematică aplicată
Profitul unei firme este modelat de funcția P:[0,∞)→RP: [0, \infty) \to \mathbb{R}, P(x)=−x3+6x2+15xP(x) = -x^3 + 6x^2 + 15x, unde xx este cantitatea produsă în mii de unități. a) Studiați funcția PP: determinați domeniul (considerând x≥0x \geq 0), monotonia, punctele de maxim sau minim. b) Determinați intervalul de cantități xx pentru care profitul este pozitiv și calculați profitul maxim posibil.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Domeniul: x≥0x \geq 0; derivata P′(x)=−3x2+12x+15P'(x) = -3x^2 + 12x + 15.
23 puncte
Semnul derivatei: rezolvăm P′(x)=0⇒−3x2+12x+15=0⇒x2−4x−5=0⇒x=−1P'(x) = 0 \Rightarrow -3x^2 + 12x + 15 = 0 \Rightarrow x^2 - 4x - 5 = 0 \Rightarrow x = -1 sau x=5x = 5; pentru x≥0x \geq 0, P′(x)>0P'(x) > 0 pe (0,5)(0,5) (funcție crescătoare), P′(x)<0P'(x) < 0 pe (5,∞)(5, \infty) (funcție descrescătoare).
32 puncte
Punctul critic: x=5x=5 este punct de maxim deoarece derivata își schimbă semnul din pozitiv în negativ; P(5)=−125+150+75=100P(5) = -125 + 150 + 75 = 100 (profit maxim).
43 puncte
Pentru P(x)>0P(x) > 0: rezolvăm −x3+6x2+15x>0⇒x(−x2+6x+15)>0-x^3 + 6x^2 + 15x > 0 \Rightarrow x(-x^2 + 6x + 15) > 0; pentru x>0x > 0, inecuația devine −x2+6x+15>0⇒x2−6x−15<0-x^2 + 6x + 15 > 0 \Rightarrow x^2 - 6x - 15 < 0; rădăcinile x=3±26x = 3 \pm 2\sqrt{6}, deci x∈(0,3+26)x \in (0, 3 + 2\sqrt{6}) aproximativ (0,7.899)(0, 7.899); profitul maxim este P(5)=100P(5) = 100 mii unități monetare.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Studiul funcțiilor

Ușor#1Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→6x+3−3x−6\lim_{x\to 6}\frac{\sqrt{x+3}-3}{x-6}.
Mediu#2Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→2[(x3−4xx3−8)−1−(x+2xx−2−2x−2)−1]\lim_{x\to2}\left[\left(\frac{x^3 - 4x}{x^3 - 8}\right)^{-1} - \left(\frac{x + \sqrt{2x}}{x - 2} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x} - \sqrt{2}}\right)^{-1}\right]
Ușor#3Studiul funcțiilorAsimptote
Calculați limita lim⁡x→∞(3x5x−1−2x2+1x2+2x−1)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{3x}{5x - 1} - \frac{2x^2 + 1}{x^2 + 2x - 1}\right).
Ușor#4Studiul funcțiilorPolinoame
Calculați limita lim⁡x→∞(2x2+7x−26x3−4x+3)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{2x^2 + 7x - 2}{6x^3 - 4x + 3}\right).
Vezi toate problemele de Studiul funcțiilor →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Studiul funcțiilor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.