MediuPrimitiveClasa 12

Problemă rezolvată de Primitive

MediuPrimitiveMonotonie și convexitate
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=2xx2+1f(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}. Să se determine o primitivă FF a lui ff astfel încât F(0)=0F(0) = 0. Apoi, să se studieze convexitatea funcției FF pe intervalul [0,∞)[0, \infty).

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Găsiți o primitivă generală a lui ff. Observați că derivata lui x2+1x^2 + 1 este 2x2x, deci o primitivă este F(x)=ln⁡(x2+1)+CF(x) = \ln(x^2 + 1) + C. Impunând condiția F(0)=0F(0) = 0, obținem ln⁡(02+1)+C=ln⁡(1)+C=0+C=0\ln(0^2 + 1) + C = \ln(1) + C = 0 + C = 0, deci C=0C = 0. Astfel, F(x)=ln⁡(x2+1)F(x) = \ln(x^2 + 1).
23 puncte
Calculați derivata a doua a lui FF pentru a studia convexitatea. F′(x)=f(x)=2xx2+1F'(x) = f(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}. Apoi, F′′(x)=2(x2+1)−2x⋅2x(x2+1)2=2x2+2−4x2(x2+1)2=2−2x2(x2+1)2=2(1−x2)(x2+1)2F''(x) = \frac{2(x^2 + 1) - 2x \cdot 2x}{(x^2 + 1)^2} = \frac{2x^2 + 2 - 4x^2}{(x^2 + 1)^2} = \frac{2 - 2x^2}{(x^2 + 1)^2} = \frac{2(1 - x^2)}{(x^2 + 1)^2}.
33 puncte
Analizați semnul lui F′′(x)F''(x) pe [0,∞)[0, \infty). Pentru x≥0x \geq 0, F′′(x)=2(1−x2)(x2+1)2F''(x) = \frac{2(1 - x^2)}{(x^2 + 1)^2}. Aceasta este pozitivă pentru 1−x2>01 - x^2 > 0, adică x<1x < 1, și negativă pentru x>1x > 1. Prin urmare, FF este convexă pe [0,1)[0,1) și concavă pe (1,∞)(1,\infty). În x=1x=1, F′′(1)=0F''(1)=0, iar semnul se schimbă, deci x=1x=1 este punct de inflexiune; pe [0,∞)[0,\infty), FF este convexă pe [0,1][0,1] și concavă pe [1,∞)[1,\infty).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Primitive

Ușor#1PrimitiveDerivate
Găsiți F(x)F(x) știind că F′(x)=4x+1F'(x) = 4x + 1 și F(−1)=2F(-1) = 2.
Ușor#2PrimitiveDerivate
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 3x2−4x3x^2 - 4x și F(0)=1F(0) = 1.
Ușor#3PrimitiveDerivatePolinoame
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 7x2−2x+37x^2 - 2x + 3 și graficul lui F trece prin punctul M(1,5)M(1,5).
Ușor#4PrimitiveTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 1 + x + cos 2x și F(0) = 1.
Vezi toate problemele de Primitive →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Primitive cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.