MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeEcuații iraționale
Fie șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=1a_1 = 1 și an+1=2+ana_{n+1} = \sqrt{2 + a_n} pentru orice n≥1n \geq 1. Să se arate că șirul este convergent și să i se afle limita.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Se arată prin inducție matematică că pentru orice n≥1n \geq 1, 0≤an≤20 \leq a_n \leq 2. Pasul de bază: a1=1a_1=1, deci 0≤1≤20\leq 1 \leq 2. Pasul inductiv: dacă 0≤an≤20\leq a_n \leq 2, atunci 2≤2+an≤42 \leq 2+a_n \leq 4, deci 2≤2+an≤2\sqrt{2} \leq \sqrt{2+a_n} \leq 2, adică 2≤an+1≤2\sqrt{2} \leq a_{n+1} \leq 2. Cum 2≈1.414>0\sqrt{2} \approx 1.414 > 0, avem 0≤an+1≤20\leq a_{n+1} \leq 2.
23 puncte
Se arată că șirul este crescător. Comparăm an+1a_{n+1} cu ana_n: an+1−an=2+an−ana_{n+1} - a_n = \sqrt{2+a_n} - a_n. Considerăm funcția h(x)=2+x−xh(x) = \sqrt{2+x} - x pe [0,2][0,2]. Derivata h′(x)=122+x−1h'(x) = \frac{1}{2\sqrt{2+x}} - 1. Pentru x∈[0,2]x\in[0,2], 2+x≥2≈1.414\sqrt{2+x} \geq \sqrt{2} \approx 1.414, deci 122+x≤12.828≈0.353<1\frac{1}{2\sqrt{2+x}} \leq \frac{1}{2.828} \approx 0.353 < 1, astfel h′(x)<0h'(x) < 0, deci hh este descrescătoare. Calculăm h(0)=2>0h(0)=\sqrt{2}>0, h(2)=4−2=0h(2)=\sqrt{4}-2=0, deci pe [0,2][0,2], h(x)≥0h(x) \geq 0, adică 2+an≥an\sqrt{2+a_n} \geq a_n, deci an+1≥ana_{n+1} \geq a_n. Șirul este crescător.
32 puncte
Șirul este crescător și mărginit superior, deci este convergent. Fie L=lim⁡n→∞anL = \lim_{n \to \infty} a_n.
42 puncte
Trecând la limită în relația de recurență: L=2+LL = \sqrt{2+L}. Se ridică la pătrat: L2=2+LL^2 = 2+L, deci L2−L−2=0L^2 - L - 2 = 0. Soluțiile sunt L1=−1L_1 = -1 și L2=2L_2 = 2. Cum an≥0a_n \geq 0 pentru toți nn, limita este nenegativă, deci L=2L=2. Astfel, lim⁡n→∞an=2\lim_{n \to \infty} a_n = 2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.