MediuPrimitiveClasa 12

Problemă rezolvată de Primitive

MediuPrimitiveAlgebră și Calcule cu Numere RealePolinoame
Să se determine funcția F:R∖{−1,1}→RF: \mathbb{R} \setminus \{ -1, 1 \} \to \mathbb{R}, primitivă a funcției f(x)=3x2+2x2−1f(x) = \frac{3x^2 + 2}{x^2 - 1}, care verifică F(0)=0F(0) = 0.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Descompunerea funcției f(x)f(x) în fracții simple: f(x)=3+5x2−1=3+Ax−1+Bx+1f(x) = 3 + \frac{5}{x^2 - 1} = 3 + \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+1}. Se determină A=52A = \frac{5}{2} și B=−52B = -\frac{5}{2} prin identificarea coeficienților.
24 puncte
Integrarea fiecărei părți: ∫f(x) dx=∫3 dx+∫5/2x−1 dx−∫5/2x+1 dx=3x+52ln⁡∣x−1∣−52ln⁡∣x+1∣+C\int f(x) \, dx = \int 3 \, dx + \int \frac{5/2}{x-1} \, dx - \int \frac{5/2}{x+1} \, dx = 3x + \frac{5}{2} \ln|x-1| - \frac{5}{2} \ln|x+1| + C. Se obține expresia generală a primitivei: F(x)=3x+52ln⁡∣x−1x+1∣+CF(x) = 3x + \frac{5}{2} \ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right| + C.
33 puncte
Aplicarea condiției F(0)=0F(0) = 0: F(0)=0+52ln⁡∣−11∣+C=52ln⁡1+C=CF(0) = 0 + \frac{5}{2} \ln\left|\frac{-1}{1}\right| + C = \frac{5}{2} \ln 1 + C = C, deci C=0C = 0. Astfel, F(x)=3x+52ln⁡∣x−1x+1∣F(x) = 3x + \frac{5}{2} \ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right|.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Primitive

Ușor#1PrimitiveDerivate
Găsiți F(x)F(x) știind că F′(x)=4x+1F'(x) = 4x + 1 și F(−1)=2F(-1) = 2.
Ușor#2PrimitiveDerivate
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 3x2−4x3x^2 - 4x și F(0)=1F(0) = 1.
Ușor#3PrimitiveDerivatePolinoame
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 7x2−2x+37x^2 - 2x + 3 și graficul lui F trece prin punctul M(1,5)M(1,5).
Ușor#4PrimitiveTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 1 + x + cos 2x și F(0) = 1.
Vezi toate problemele de Primitive →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Primitive cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.