MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeProgresii AritmeticeProgresii Geometrice
Fie (bn)n≥1(b_n)_{n \geq 1} un șir de numere reale astfel încât b1,b2,b3b_1, b_2, b_3 sunt în progresie aritmetică, iar b2,b3,b4b_2, b_3, b_4 sunt în progresie geometrică. Dacă b1=1b_1 = 1 și b4=8b_4 = 8, determinați toate șirurile posibile (bn)(b_n) și pentru fiecare, calculați suma primilor 10 termeni.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Din progresia aritmetică: 2b2=b1+b3⇒2b2=1+b32b_2 = b_1 + b_3 \Rightarrow 2b_2 = 1 + b_3. Din progresia geometrică: b32=b2⋅b4⇒b32=8b2b_3^2 = b_2 \cdot b_4 \Rightarrow b_3^2 = 8b_2. \
23 puncte
Din prima ecuație, b2=1+b32b_2 = \frac{1+b_3}{2}. Înlocuim în a doua: b32=8⋅1+b32=4(1+b3)⇒b32−4b3−4=0⇒b3=2±22b_3^2 = 8 \cdot \frac{1+b_3}{2} = 4(1+b_3) \Rightarrow b_3^2 - 4b_3 - 4 = 0 \Rightarrow b_3 = 2 \pm 2\sqrt{2}. Pentru b3=2+22b_3 = 2 + 2\sqrt{2}, avem b2=1+2+222=3+222b_2 = \frac{1+2+2\sqrt{2}}{2} = \frac{3+2\sqrt{2}}{2}. Pentru b3=2−22b_3 = 2 - 2\sqrt{2}, avem b2=1+2−222=3−222b_2 = \frac{1+2-2\sqrt{2}}{2} = \frac{3-2\sqrt{2}}{2}. \
33 puncte
Șirurile sunt definite de rația progresiei aritmetice r=b2−b1r = b_2 - b_1. Pentru primul caz: r=3+222−1=1+222r = \frac{3+2\sqrt{2}}{2} - 1 = \frac{1+2\sqrt{2}}{2}, deci bn=1+(n−1)⋅1+222b_n = 1 + (n-1)\cdot\frac{1+2\sqrt{2}}{2}. Suma S10=10⋅b1+b102=5⋅(1+1+9⋅1+222)=5⋅(2+9+1822)=5⋅4+9+1822=5(13+182)2S_{10} = 10 \cdot \frac{b_1+b_{10}}{2} = 5 \cdot \left(1 + 1 + 9\cdot\frac{1+2\sqrt{2}}{2}\right) = 5 \cdot \left(2 + \frac{9+18\sqrt{2}}{2}\right) = 5 \cdot \frac{4+9+18\sqrt{2}}{2} = \frac{5(13+18\sqrt{2})}{2}. Pentru al doilea caz: r=3−222−1=1−222r = \frac{3-2\sqrt{2}}{2} - 1 = \frac{1-2\sqrt{2}}{2}, deci bn=1+(n−1)⋅1−222b_n = 1 + (n-1)\cdot\frac{1-2\sqrt{2}}{2}. Suma S10=5⋅(1+1+9⋅1−222)=5⋅(2+9−1822)=5(13−182)2S_{10} = 5 \cdot \left(1 + 1 + 9\cdot\frac{1-2\sqrt{2}}{2}\right) = 5 \cdot \left(2 + \frac{9-18\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{5(13-18\sqrt{2})}{2}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.