MediuProgresii AritmeticeClasa 9

Problemă rezolvată de Progresii Aritmetice

MediuProgresii AritmeticeAplicații ale trigonometriei în geometrie
Într-un triunghi, lungimile laturilor sunt numere naturale în progresie aritmetică. Cel mai mare unghi al triunghiului are măsura de 120∘120^{\circ}, iar latura opusă acestui unghi are lungimea de 14 cm. Aflați lungimile celorlalte două laturi.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Notăm laturile cu a−da-d, aa, a+da+d, unde a−d<a<a+da-d < a < a+d. Latura cea mai mare este opusă unghiului de 120∘120^{\circ}, deci a+d=14a+d = 14.
23 puncte
Aplicăm teorema cosinusului pentru unghiul de 120∘120^{\circ}: (a+d)2=(a−d)2+a2−2(a−d)acos⁡120∘(a+d)^2 = (a-d)^2 + a^2 - 2(a-d)a \cos 120^{\circ}. Știind că cos⁡120∘=−12\cos 120^{\circ} = -\frac{1}{2}, obținem: 142=(a−d)2+a2+a(a−d)14^2 = (a-d)^2 + a^2 + a(a-d).
32 puncte
Substituim d=14−ad = 14 - a și simplificăm: 196=(2a−14)2+a2+a(2a−14)⇒196=4a2−56a+196+a2+2a2−14a⇒7a2−70a=0⇒a(a−10)=0196 = (2a-14)^2 + a^2 + a(2a-14) \Rightarrow 196 = 4a^2 - 56a + 196 + a^2 + 2a^2 - 14a \Rightarrow 7a^2 - 70a = 0 \Rightarrow a(a-10)=0. Cum a>0a>0, avem a=10a=10.
42 puncte
Atunci d=14−10=4d = 14 - 10 = 4, iar laturile sunt a−d=6a-d=6, a=10a=10, a+d=14a+d=14 cm.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Progresii Aritmetice

Ușor#1Progresii AritmeticeEcuații exponentialeFuncția de gradul al II-lea
Rezolvați inegalitatea (0.3)2+4+6+⋯+2x>(0.3)72, x∈N(0.3)^{2+4+6+\dots+2x}>(0.3)^{72},\ x\in\mathbb{N}.
Ușor#2Progresii AritmeticeSisteme de Ecuații Liniare
Găsiți primul termen a1a_1 și diferența comună dd ale progresiei aritmetice {an}\{a_n\} în care sunt adevărate ecuațiile a2+a5−a3=10a_2 + a_5 - a_3 = 10 și a2+a9=17a_2 + a_9 = 17.
Ușor#3Progresii AritmeticeȘiruri de numere reale
Arătați că șirul {an}\{a_n\} este o progresie aritmetică, știind că suma primelor nn termene este Sn=2n2+3nS_n = 2n^2 + 3n.
Ușor#4Progresii AritmeticeȘiruri de numere realeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Determinați primele trei termene ale progresiei aritmetice a cărei sumă a primelor nn termene este Sn=4n2−3nS_n = 4n^2 - 3n, pentru orice nn.
Vezi toate problemele de Progresii Aritmetice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Progresii Aritmetice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.