MediuProgresii AritmeticeClasa 9

Problemă rezolvată de Progresii Aritmetice

MediuProgresii AritmeticeProgresii GeometriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Trei numere reale x,y,zx, y, z sunt în progresie aritmetică. Dacă x2,y2,z2x^2, y^2, z^2 sunt în progresie geometrică și x+y+z=6x + y + z = 6, determinați toate tripletele posibile de numere.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Din progresia aritmetică, avem 2y=x+z2y = x + z. Folosind x+y+z=6x + y + z = 6, obținem 3y=63y = 6, deci y=2y = 2. Atunci x+z=4x + z = 4.
24 puncte
Din progresia geometrică a pătratelor, avem (y2)2=x2⋅z2(y^2)^2 = x^2 \cdot z^2, adică y4=x2z2y^4 = x^2 z^2. Aceasta implică y2=±xzy^2 = \pm xz. Deoarece y=2y = 2, avem 4=±xz4 = \pm xz. Considerăm două cazuri: Cazul I: 4=xz4 = xz; Cazul II: 4=−xz4 = -xz, adică xz=−4xz = -4.
33 puncte
Pentru fiecare caz, rezolvăm sistemul x+z=4x + z = 4 și ecuația pentru xzxz.
  • Cazul I: x+z=4x + z = 4 și xz=4xz = 4. Ecuația de gradul al doilea este t2−4t+4=0t^2 - 4t + 4 = 0, cu discriminantul Δ=16−16=0\Delta = 16 - 16 = 0, deci t=2t = 2. Astfel, x=z=2x = z = 2, iar tripletul este (2,2,2)(2, 2, 2).
  • Cazul II: x+z=4x + z = 4 și xz=−4xz = -4. Ecuația este t2−4t−4=0t^2 - 4t - 4 = 0, cu Δ=16+16=32\Delta = 16 + 16 = 32, deci t=2±22t = 2 \pm 2\sqrt{2}. Astfel, tripletele sunt (2+22,2,2−22)(2 + 2\sqrt{2}, 2, 2 - 2\sqrt{2}) și (2−22,2,2+22)(2 - 2\sqrt{2}, 2, 2 + 2\sqrt{2}). Toate tripletele verifică condițiile.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Progresii Aritmetice

Ușor#1Progresii AritmeticeEcuații exponentialeFuncția de gradul al II-lea
Rezolvați inegalitatea (0.3)2+4+6+⋯+2x>(0.3)72, x∈N(0.3)^{2+4+6+\dots+2x}>(0.3)^{72},\ x\in\mathbb{N}.
Ușor#2Progresii AritmeticeSisteme de Ecuații Liniare
Găsiți primul termen a1a_1 și diferența comună dd ale progresiei aritmetice {an}\{a_n\} în care sunt adevărate ecuațiile a2+a5−a3=10a_2 + a_5 - a_3 = 10 și a2+a9=17a_2 + a_9 = 17.
Ușor#3Progresii AritmeticeȘiruri de numere reale
Arătați că șirul {an}\{a_n\} este o progresie aritmetică, știind că suma primelor nn termene este Sn=2n2+3nS_n = 2n^2 + 3n.
Ușor#4Progresii AritmeticeȘiruri de numere realeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Determinați primele trei termene ale progresiei aritmetice a cărei sumă a primelor nn termene este Sn=4n2−3nS_n = 4n^2 - 3n, pentru orice nn.
Vezi toate problemele de Progresii Aritmetice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Progresii Aritmetice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.