MediuStudiul funcțiilorClasa 12

Problemă rezolvată de Studiul funcțiilor

MediuStudiul funcțiilorAsimptoteIntegrale definite
Se consideră funcția g(x)=xx2+1g(x) = \frac{x}{x^2 + 1}. a) Studiați funcția gg: determinați domeniul de definiție, asimptotele, intervalele de monotonie și punctele de extrem local. b) Calculați integrala definită ∫01g(x) dx\int_{0}^{1} g(x) \, dx.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Domeniul de definiție: R\mathbb{R} deoarece x2+1≠0x^2 + 1 \neq 0 pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R}.
22 puncte
Asimptote. lim⁡x→±∞g(x)=0\lim_{x \to \pm \infty} g(x) = 0, deci y=0y=0 este asimptotă orizontală. Nu există asimptote verticale sau oblice.
33 puncte
Monotonie și extreme. g′(x)=1⋅(x2+1)−x⋅2x(x2+1)2=1−x2(x2+1)2g'(x) = \frac{1 \cdot (x^2+1) - x \cdot 2x}{(x^2+1)^2} = \frac{1 - x^2}{(x^2+1)^2}. g′(x)=0g'(x) = 0 pentru x=±1x = \pm 1. Tabel de variație: gg este crescătoare pe (−1,1)(-1,1) și descrescătoare pe (−∞,−1)(-\infty,-1) și (1,∞)(1,\infty). Maxim local în x=1x=1, g(1)=12g(1) = \frac{1}{2}, minim local în x=−1x=-1, g(−1)=−12g(-1) = -\frac{1}{2}.
43 puncte
Calculul integralei. ∫01xx2+1 dx=12∫012xx2+1 dx=12ln⁡(x2+1)∣01=12(ln⁡2−ln⁡1)=12ln⁡2\int_{0}^{1} \frac{x}{x^2+1} \, dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} \frac{2x}{x^2+1} \, dx = \frac{1}{2} \ln(x^2+1) \big|_{0}^{1} = \frac{1}{2} (\ln 2 - \ln 1) = \frac{1}{2} \ln 2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Studiul funcțiilor

Ușor#1Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→6x+3−3x−6\lim_{x\to 6}\frac{\sqrt{x+3}-3}{x-6}.
Mediu#2Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→2[(x3−4xx3−8)−1−(x+2xx−2−2x−2)−1]\lim_{x\to2}\left[\left(\frac{x^3 - 4x}{x^3 - 8}\right)^{-1} - \left(\frac{x + \sqrt{2x}}{x - 2} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x} - \sqrt{2}}\right)^{-1}\right]
Ușor#3Studiul funcțiilorAsimptote
Calculați limita lim⁡x→∞(3x5x−1−2x2+1x2+2x−1)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{3x}{5x - 1} - \frac{2x^2 + 1}{x^2 + 2x - 1}\right).
Ușor#4Studiul funcțiilorPolinoame
Calculați limita lim⁡x→∞(2x2+7x−26x3−4x+3)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{2x^2 + 7x - 2}{6x^3 - 4x + 3}\right).
Vezi toate problemele de Studiul funcțiilor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Studiul funcțiilor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.