MediuPrimitiveClasa 12

Problemă rezolvată de Primitive

MediuPrimitiveIntegrale definiteArii și volume
Calculați primitiva funcției f(x)=x1−x2f(x) = x \sqrt{1 - x^2} și determinați aria mărginită de graficul funcției, axa Ox și dreptele x=0x = 0 și x=1x = 1.

Rezolvare completă

10 puncte · 2 pași
15 puncte
Se observă că f(x)=x1−x2f(x) = x \sqrt{1 - x^2}. Folosind substituția u=1−x2u = 1 - x^2, avem du=−2xdxdu = -2x dx, deci xdx=−12dux dx = -\frac{1}{2} du. Atunci ∫x1−x2dx=∫u⋅(−12)du=−12∫u1/2du=−12⋅23u3/2+C=−13(1−x2)3/2+C\int x \sqrt{1 - x^2} dx = \int \sqrt{u} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) du = -\frac{1}{2} \int u^{1/2} du = -\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{3/2} + C = -\frac{1}{3} (1 - x^2)^{3/2} + C.
25 puncte
Aria este dată de integrala definită ∫01x1−x2dx\int_0^1 x \sqrt{1 - x^2} dx. Folosind primitiva găsită, avem [−13(1−x2)3/2]01=(−13(1−1)3/2)−(−13(1−0)3/2)=0+13=13\left[ -\frac{1}{3} (1 - x^2)^{3/2} \right]_0^1 = \left( -\frac{1}{3} (1 - 1)^{3/2} \right) - \left( -\frac{1}{3} (1 - 0)^{3/2} \right) = 0 + \frac{1}{3} = \frac{1}{3}. Deci aria este 13\frac{1}{3} unități pătrate.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Primitive

Ușor#1PrimitiveDerivate
Găsiți F(x)F(x) știind că F′(x)=4x+1F'(x) = 4x + 1 și F(−1)=2F(-1) = 2.
Ușor#2PrimitiveDerivate
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 3x2−4x3x^2 - 4x și F(0)=1F(0) = 1.
Ușor#3PrimitiveDerivatePolinoame
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 7x2−2x+37x^2 - 2x + 3 și graficul lui F trece prin punctul M(1,5)M(1,5).
Ușor#4PrimitiveTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 1 + x + cos 2x și F(0) = 1.
Vezi toate problemele de Primitive →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Primitive cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.