MediuAlgebră și Calcule cu Numere RealeClasa 10

Problemă rezolvată de Algebră și Calcule cu Numere Reale

MediuAlgebră și Calcule cu Numere RealeEcuații iraționale
Determinați mulțimea soluțiilor reale ale ecuației 2x−1+3−x=2\sqrt{2x-1} + \sqrt{3-x} = 2.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Se determină condițiile de existență: 2x−1≥02x-1 \geq 0 și 3−x≥03-x \geq 0, de unde x∈[12,3]x \in \left[ \frac{1}{2}, 3 \right].
25 puncte
Se izolează un radical și se ridică la pătrat: se scrie 2x−1=2−3−x\sqrt{2x-1} = 2 - \sqrt{3-x}, se ridică la pătrat obținând 2x−1=4−43−x+3−x2x-1 = 4 - 4\sqrt{3-x} + 3 - x, se simplifică la 3x−8=−43−x3x - 8 = -4\sqrt{3-x}, se ridică din nou la pătrat: (3x−8)2=16(3−x)(3x-8)^2 = 16(3-x), deci 9x2−48x+64=48−16x9x^2 - 48x + 64 = 48 - 16x, adică 9x2−32x+16=09x^2 - 32x + 16 = 0. Se rezolvă ecuația: Δ=1024−576=448\Delta = 1024 - 576 = 448, Δ=87\sqrt{\Delta} = 8\sqrt{7}, deci x=32±8718=16±479x = \frac{32 \pm 8\sqrt{7}}{18} = \frac{16 \pm 4\sqrt{7}}{9}.
32 puncte
Se verifică dacă soluțiile 16−479\frac{16 - 4\sqrt{7}}{9} și 16+479\frac{16 + 4\sqrt{7}}{9} aparțin domeniului [12,3]\left[ \frac{1}{2}, 3 \right] și satisfac ecuația inițială. Ambele verifică, deci mulțimea soluțiilor este {16−479,16+479}\left\{ \frac{16 - 4\sqrt{7}}{9}, \frac{16 + 4\sqrt{7}}{9} \right\}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Algebră și Calcule cu Numere Reale

Ușor#1Algebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația ∣x+2∣=2(3−x)|x + 2| = 2(3 - x).
Ușor#2Algebră și Calcule cu Numere RealeFuncția de gradul I
Rezolvați ecuația ∣3x−2∣+x=11.|3x - 2| + x = 11.
Ușor#3Algebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația ∣x∣−∣x−2∣=2.|x| - |x - 2| = 2.
Ușor#4Algebră și Calcule cu Numere RealeFuncția de gradul I
Determinați cea mai mică valoare întreagă a lui x pentru care ∣x−3∣+2∣x+1∣=4.|x - 3| + 2|x + 1| = 4.
Vezi toate problemele de Algebră și Calcule cu Numere Reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Algebră și Calcule cu Numere Reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.