MediuPrimitiveClasa 12

Problemă rezolvată de Primitive

MediuPrimitiveFuncția de gradul al II-leaIntegrale definite
Se consideră funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c, unde a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R}. Știind că f′(1)=4f'(1) = 4, f(0)=2f(0) = 2 și că o primitivă FF a lui ff are valoarea F(1)=3F(1) = 3, să se determine coeficienții a,b,ca, b, c. Apoi, calculați ∫02f(x) dx\int_{0}^{2} f(x) \, dx.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
11 punct
Se scrie f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c și derivata f′(x)=2ax+bf'(x) = 2ax + b.
23 puncte
Din condițiile date, se formează ecuațiile: f′(1)=2a⋅1+b=4f'(1) = 2a \cdot 1 + b = 4 și f(0)=a⋅02+b⋅0+c=2f(0) = a \cdot 0^2 + b \cdot 0 + c = 2. Deci, 2a+b=42a + b = 4 și c=2c = 2.
33 puncte
Fie FF o primitivă a lui ff, deci F′(x)=f(x)F'(x) = f(x). Integrând, F(x)=a3x3+b2x2+cx+KF(x) = \frac{a}{3}x^3 + \frac{b}{2}x^2 + cx + K, unde KK este constantă. Din F(1)=3F(1) = 3, se obține a3+b2+c+K=3\frac{a}{3} + \frac{b}{2} + c + K = 3. Dar c=2c=2, deci a3+b2+2+K=3\frac{a}{3} + \frac{b}{2} + 2 + K = 3. Pentru a elimina KK, se poate folosi faptul că FF este o primitivă arbitrară, dar condiția F(1)=3F(1)=3 determină KK; totuși, se poate exprima KK în funcție de aa și bb. Alternativ, se poate considera o primitivă specifică, de exemplu cea cu K=0K=0, dar atunci F(1)F(1) trebuie să fie 3, deci a3+b2+2=3\frac{a}{3} + \frac{b}{2} + 2 = 3, adică a3+b2=1\frac{a}{3} + \frac{b}{2} = 1.
42 puncte
Se rezolvă sistemul: 2a+b=42a + b = 4 și a3+b2=1\frac{a}{3} + \frac{b}{2} = 1. Din prima ecuație, b=4−2ab = 4 - 2a. Înlocuind în a doua: a3+4−2a2=1\frac{a}{3} + \frac{4 - 2a}{2} = 1. Simplificând, se obține a3+2−a=1\frac{a}{3} + 2 - a = 1, deci a3−a=−1\frac{a}{3} - a = -1, −2a3=−1\frac{-2a}{3} = -1, de unde a=32a = \frac{3}{2}. Atunci b=4−2⋅32=4−3=1b = 4 - 2 \cdot \frac{3}{2} = 4 - 3 = 1. Coeficienții sunt a=32a = \frac{3}{2}, b=1b = 1, c=2c = 2.
51 punct
Se calculează integrala definită: ∫02f(x) dx=∫02(32x2+x+2)dx=[12x3+12x2+2x]02=(12⋅8+12⋅4+4)−0=4+2+4=10\int_{0}^{2} f(x) \, dx = \int_{0}^{2} \left( \frac{3}{2}x^2 + x + 2 \right) dx = \left[ \frac{1}{2}x^3 + \frac{1}{2}x^2 + 2x \right]_{0}^{2} = \left( \frac{1}{2} \cdot 8 + \frac{1}{2} \cdot 4 + 4 \right) - 0 = 4 + 2 + 4 = 10.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Primitive

Ușor#1PrimitiveDerivate
Găsiți F(x)F(x) știind că F′(x)=4x+1F'(x) = 4x + 1 și F(−1)=2F(-1) = 2.
Ușor#2PrimitiveDerivate
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 3x2−4x3x^2 - 4x și F(0)=1F(0) = 1.
Ușor#3PrimitiveDerivatePolinoame
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 7x2−2x+37x^2 - 2x + 3 și graficul lui F trece prin punctul M(1,5)M(1,5).
Ușor#4PrimitiveTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 1 + x + cos 2x și F(0) = 1.
Vezi toate problemele de Primitive →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Primitive cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.