MediuStudiul funcțiilorClasa 11

Problemă rezolvată de Studiul funcțiilor

MediuStudiul funcțiilorAsimptoteSisteme de Ecuații Liniare
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=ax2+bx+cx+df(x) = \frac{ax^2 + bx + c}{x + d}, cu a,b,c,d∈Ra, b, c, d \in \mathbb{R}, a≠0a \neq 0. Se știe că graficul funcției are asimptota verticală x=−1x = -1, asimptota oblică y=2x+3y = 2x + 3 și că f(0)=−4f(0) = -4. Determinați coeficienții a,b,c,da, b, c, d, apoi studiați funcția: domeniul de definiție, asimptotele, intervalele de monotonie și punctele de extrem.

Rezolvare completă

10 puncte · 6 pași
13 puncte
Din asimptota verticală x=−1x = -1 rezultă că numitorul se anulează pentru x=−1x = -1, deci −1+d=0⇒d=1-1 + d = 0 \Rightarrow d = 1. Din asimptota oblică y=2x+3y = 2x + 3, prin împărțirea polinomului de la numărător la x+1x + 1, se obține a=2a = 2 și b−a=3⇒b=5b - a = 3 \Rightarrow b = 5.
21 punct
Din condiția f(0)=−4f(0) = -4 se obține f(0)=c1=c=−4⇒c=−4f(0) = \frac{c}{1} = c = -4 \Rightarrow c = -4. Deci funcția este f(x)=2x2+5x−4x+1f(x) = \frac{2x^2 + 5x - 4}{x + 1}.
31 punct
Domeniul de definiție: R∖{−1}\mathbb{R} \setminus \{-1\}.
42 puncte
Asimptote: verticală x=−1x = -1 (deoarece lim⁡x→−1f(x)=∞\lim_{x \to -1} f(x) = \infty); oblică y=2x+3y = 2x + 3 (deoarece lim⁡x→±∞[f(x)−(2x+3)]=0\lim_{x \to \pm \infty} [f(x) - (2x+3)] = 0).
52 puncte
Calculăm derivata: f′(x)=(4x+5)(x+1)−(2x2+5x−4)(x+1)2=4x2+9x+5−2x2−5x+4(x+1)2=2x2+4x+9(x+1)2f'(x) = \frac{(4x+5)(x+1) - (2x^2+5x-4)}{(x+1)^2} = \frac{4x^2+9x+5 - 2x^2-5x+4}{(x+1)^2} = \frac{2x^2+4x+9}{(x+1)^2}. Numărătorul 2x2+4x+92x^2+4x+9 are Δ=16−72=−56<0\Delta = 16 - 72 = -56 < 0, deci este pozitiv pentru orice xx. Astfel, f′(x)>0f'(x) > 0 pe domeniu, deci funcția este strict crescătoare pe (−∞,−1)(-\infty, -1) și pe (−1,∞)(-1, \infty).
61 punct
Deoarece f′(x)>0f'(x) > 0 peste tot în domeniu, nu există puncte de extrem local.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Studiul funcțiilor

Ușor#1Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→6x+3−3x−6\lim_{x\to 6}\frac{\sqrt{x+3}-3}{x-6}.
Mediu#2Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→2[(x3−4xx3−8)−1−(x+2xx−2−2x−2)−1]\lim_{x\to2}\left[\left(\frac{x^3 - 4x}{x^3 - 8}\right)^{-1} - \left(\frac{x + \sqrt{2x}}{x - 2} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x} - \sqrt{2}}\right)^{-1}\right]
Ușor#3Studiul funcțiilorAsimptote
Calculați limita lim⁡x→∞(3x5x−1−2x2+1x2+2x−1)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{3x}{5x - 1} - \frac{2x^2 + 1}{x^2 + 2x - 1}\right).
Ușor#4Studiul funcțiilorPolinoame
Calculați limita lim⁡x→∞(2x2+7x−26x3−4x+3)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{2x^2 + 7x - 2}{6x^3 - 4x + 3}\right).
Vezi toate problemele de Studiul funcțiilor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Studiul funcțiilor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.