MediuPrimitiveClasa 12

Problemă rezolvată de Primitive

MediuPrimitive
Fie funcția f:[0,∞)→Rf: [0, \infty) \to \mathbb{R}, f(x)=e−xsin⁡xf(x) = e^{-x} \sin x. Să se calculeze aria suprafeței mărginite de graficul funcției ff, axa OxOx și dreptele x=0x=0 și x=πx=\pi.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Scrieți aria ca integrală definită: A=∫0πe−xsin⁡x dxA = \int_0^{\pi} e^{-x} \sin x \, dx.
23 puncte
Aplicați integrarea prin părți: notați u=sin⁡xu = \sin x, dv=e−xdxdv = e^{-x} dx, obțineți du=cos⁡x dxdu = \cos x \, dx, v=−e−xv = -e^{-x}, deci ∫e−xsin⁡x dx=−e−xsin⁡x+∫e−xcos⁡x dx\int e^{-x} \sin x \, dx = -e^{-x} \sin x + \int e^{-x} \cos x \, dx.
33 puncte
Repetați integrarea prin părți pentru ∫e−xcos⁡x dx\int e^{-x} \cos x \, dx sau folosiți metoda recurentă pentru a obține primitiva: ∫e−xsin⁡x dx=−12e−x(sin⁡x+cos⁡x)+C\int e^{-x} \sin x \, dx = -\frac{1}{2} e^{-x} (\sin x + \cos x) + C.
42 puncte
Calculați integrala definită: A=[−12e−x(sin⁡x+cos⁡x)]0π=12(1+e−π)A = \left[ -\frac{1}{2} e^{-x} (\sin x + \cos x) \right]_0^{\pi} = \frac{1}{2} (1 + e^{-\pi}).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Primitive

Ușor#1PrimitiveDerivate
Găsiți F(x)F(x) știind că F′(x)=4x+1F'(x) = 4x + 1 și F(−1)=2F(-1) = 2.
Ușor#2PrimitiveDerivate
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 3x2−4x3x^2 - 4x și F(0)=1F(0) = 1.
Ușor#3PrimitiveDerivatePolinoame
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 7x2−2x+37x^2 - 2x + 3 și graficul lui F trece prin punctul M(1,5)M(1,5).
Ușor#4PrimitiveTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 1 + x + cos 2x și F(0) = 1.
Vezi toate problemele de Primitive →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Primitive cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.