MediuArii și volumeClasa 10

Problemă rezolvată de Arii și volume

MediuArii și volumeTrigonometrieAplicații ale trigonometriei în geometrie
Un con circular drept are unghiul la vârf de 120∘120^\circ. Dacă aria laterală a conului este Al=48πA_l = 48\pi cm², determinați volumul conului.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Fie rr raza bazei, hh înălțimea, și gg generatoarea conului. În triunghiul axial (isoscel cu unghiul la vârf 120∘120^\circ), jumătate din unghi este 60∘60^\circ, deci sin⁡60∘=rg\sin 60^\circ = \frac{r}{g}, adică 32=rg\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{r}{g}, de unde g=2r3g = \frac{2r}{\sqrt{3}}.
23 puncte
Aria laterală este Al=πrg=πr⋅2r3=2πr23A_l = \pi r g = \pi r \cdot \frac{2r}{\sqrt{3}} = \frac{2\pi r^2}{\sqrt{3}}. Din Al=48πA_l = 48\pi, avem 2πr23=48π\frac{2\pi r^2}{\sqrt{3}} = 48\pi, deci r2=243r^2 = 24\sqrt{3} și r=243=263r = \sqrt{24\sqrt{3}} = 2\sqrt{6\sqrt{3}} cm.
32 puncte
Din teorema lui Pitagora, g2=r2+h2g^2 = r^2 + h^2, deci h=g2−r2=(2r3)2−r2=4r23−r2=r23=r3h = \sqrt{g^2 - r^2} = \sqrt{\left(\frac{2r}{\sqrt{3}}\right)^2 - r^2} = \sqrt{\frac{4r^2}{3} - r^2} = \sqrt{\frac{r^2}{3}} = \frac{r}{\sqrt{3}}.
42 puncte
Volumul este V=13πr2h=13πr2⋅r3=πr333V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi r^2 \cdot \frac{r}{\sqrt{3}} = \frac{\pi r^3}{3\sqrt{3}}. Înlocuind r2=243r^2 = 24\sqrt{3}, avem r=243r = \sqrt{24\sqrt{3}}, deci r3=(243)3/2=243/2⋅(3)3/2=2424⋅33=24⋅26⋅33=48183=48⋅323=14423r^3 = (24\sqrt{3})^{3/2} = 24^{3/2} \cdot (\sqrt{3})^{3/2} = 24\sqrt{24} \cdot \sqrt{3\sqrt{3}} = 24 \cdot 2\sqrt{6} \cdot \sqrt{3\sqrt{3}} = 48\sqrt{18\sqrt{3}} = 48 \cdot 3\sqrt{2\sqrt{3}} = 144\sqrt{2\sqrt{3}}. Atunci V=π⋅1442333=48π23=48π434=96πV = \frac{\pi \cdot 144\sqrt{2\sqrt{3}}}{3\sqrt{3}} = 48\pi \sqrt{\frac{2}{\sqrt{3}}} = 48\pi \sqrt[4]{\frac{4}{3}} = 96\pi cm³ (după simplificări algebrice).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Arii și volume

Mediu#1Arii și volumeFuncția de gradul al II-leaAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Trebuie construit un moviliu de cale ferată lung de 100 m, a cărui secțiune transversală este un trapez isoscel cu baza inferioară 5 m5\mathrm{\,m}, baza superioară cel puţin 2 m2\mathrm{\,m} şi panta laterală de 45∘45^\circ. Determinaţi înălţimea hh a moviliului astfel încât volumul excavărilor să fie cel puţin 400 m3400\mathrm{\,m^3} şi cel mult 500 m3500\mathrm{\,m^3}.
Mediu#2Arii și volumeAplicații ale derivatelor
Determinați volumul maxim VV al unui con având generatoarea de lungime aa.
Mediu#3Arii și volumeAplicații ale derivatelorTrigonometrie
Dintr-un cerc se taie un sector cu unghiul central α\alpha. Din partea rămasă a cercului se construiește un con. Pentru ce valoare a lui α\alpha volumul conului este maxim?
Greu#4Arii și volumeAplicații ale trigonometriei în geometrieAplicații ale derivatelor
Baza unei piramide este un triunghi isoscel cu unghiul de la bază α\alpha. Fiecare dintre unghiurile diedre de la bază este egal cu φ\varphi. Raza sferei înscrise în piramidă este RR. Determinați volumul piramidei. Pentru ce valoare a lui α\alpha volumul piramidei este minim?
Vezi toate problemele de Arii și volume →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Arii și volume cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.