MediuPrimitiveClasa 12

Problemă rezolvată de Primitive

MediuPrimitiveDerivateArii și volume
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=e2xsin⁡xf(x) = e^{2x} \sin x. Să se determine o primitivă FF a funcției ff care verifică F(0)=1F(0) = 1. Apoi, calculați aria mărginită de graficul lui FF, axa OxOx și dreptele x=0x = 0 și x=πx = \pi.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
14 puncte
Se aplică integrarea prin părți pentru a găsi o primitivă generală a lui f(x)f(x). Se notează u=e2xu = e^{2x} și dv=sin⁡x dxdv = \sin x \, dx, apoi se calculează ∫e2xsin⁡x dx\int e^{2x} \sin x \, dx obținând F(x)=e2x(2sin⁡x−cos⁡x)5+CF(x) = \frac{e^{2x}(2\sin x - \cos x)}{5} + C.
22 puncte
Se folosește condiția F(0)=1F(0) = 1 pentru a determina constanta CC. Înlocuind x=0x=0, se obține 1=e0(2⋅0−1)5+C1 = \frac{e^{0}(2\cdot 0 - 1)}{5} + C, deci C=65C = \frac{6}{5}. Astfel, F(x)=e2x(2sin⁡x−cos⁡x)5+65F(x) = \frac{e^{2x}(2\sin x - \cos x)}{5} + \frac{6}{5}.
32 puncte
Aria cerută este dată de A=∫0πF(x) dxA = \int_{0}^{\pi} F(x) \, dx. Se scrie integrala și se notează că aceasta poate fi calculată folosind primitiva găsită.
42 puncte
Se calculează A=F(π)−F(0)A = F(\pi) - F(0). Având F(π)=e2π(2⋅0−(−1))5+65=e2π5+65F(\pi) = \frac{e^{2\pi}(2\cdot 0 - (-1))}{5} + \frac{6}{5} = \frac{e^{2\pi}}{5} + \frac{6}{5} și F(0)=1F(0)=1, se obține A=e2π5+65−1=e2π+15A = \frac{e^{2\pi}}{5} + \frac{6}{5} - 1 = \frac{e^{2\pi} + 1}{5}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Primitive

Ușor#1PrimitiveDerivate
Găsiți F(x)F(x) știind că F′(x)=4x+1F'(x) = 4x + 1 și F(−1)=2F(-1) = 2.
Ușor#2PrimitiveDerivate
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 3x2−4x3x^2 - 4x și F(0)=1F(0) = 1.
Ușor#3PrimitiveDerivatePolinoame
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 7x2−2x+37x^2 - 2x + 3 și graficul lui F trece prin punctul M(1,5)M(1,5).
Ușor#4PrimitiveTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 1 + x + cos 2x și F(0) = 1.
Vezi toate problemele de Primitive →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Primitive cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.