MediuStudiul funcțiilorClasa 12

Problemă rezolvată de Studiul funcțiilor

MediuStudiul funcțiilorMonotonie și convexitateIntegrale definite
Fie funcția f:[0,∞)→Rf: [0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=ln⁡(x+1)−xf(x) = \ln(x+1) - x. a) Studiați monotonia și convexitatea funcției ff. b) Determinați punctul de maxim al funcției. c) Calculați integrala ∫01f(x) dx\int_0^1 f(x) \, dx.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Derivata întâi: f′(x)=1x+1−1=−xx+1f'(x) = \frac{1}{x+1} - 1 = \frac{-x}{x+1}. Pentru x≥0x \ge 0, x+1>0x+1 > 0, deci f′(x)≤0f'(x) \le 0, cu egalitate doar în x=0x=0. Funcția este descrescătoare pe [0,∞)[0, \infty).
23 puncte
Derivata a doua: f′′(x)=−1(x+1)2<0f''(x) = \frac{-1}{(x+1)^2} < 0 pentru x≥0x \ge 0, deci funcția este concavă pe domeniu.
32 puncte
Punctul de maxim: din monotonia descrescătoare, maximul este atins în x=0x=0, cu f(0)=0f(0) = 0.
42 puncte
Integrala: ∫01f(x) dx=∫01ln⁡(x+1) dx−∫01x dx\int_0^1 f(x) \, dx = \int_0^1 \ln(x+1) \, dx - \int_0^1 x \, dx. Se integrează ln⁡(x+1)\ln(x+1) prin părți: ∫ln⁡(x+1) dx=(x+1)ln⁡(x+1)−x+C\int \ln(x+1) \, dx = (x+1)\ln(x+1) - x + C. Rezultă ∫01ln⁡(x+1) dx=2ln⁡2−1\int_0^1 \ln(x+1) \, dx = 2\ln 2 - 1 și ∫01x dx=12\int_0^1 x \, dx = \frac{1}{2}. Integrala totală: 2ln⁡2−322\ln 2 - \frac{3}{2}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Studiul funcțiilor

Ușor#1Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→6x+3−3x−6\lim_{x\to 6}\frac{\sqrt{x+3}-3}{x-6}.
Mediu#2Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→2[(x3−4xx3−8)−1−(x+2xx−2−2x−2)−1]\lim_{x\to2}\left[\left(\frac{x^3 - 4x}{x^3 - 8}\right)^{-1} - \left(\frac{x + \sqrt{2x}}{x - 2} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x} - \sqrt{2}}\right)^{-1}\right]
Ușor#3Studiul funcțiilorAsimptote
Calculați limita lim⁡x→∞(3x5x−1−2x2+1x2+2x−1)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{3x}{5x - 1} - \frac{2x^2 + 1}{x^2 + 2x - 1}\right).
Ușor#4Studiul funcțiilorPolinoame
Calculați limita lim⁡x→∞(2x2+7x−26x3−4x+3)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{2x^2 + 7x - 2}{6x^3 - 4x + 3}\right).
Vezi toate problemele de Studiul funcțiilor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Studiul funcțiilor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.