MediuStudiul funcțiilorClasa 12

Problemă rezolvată de Studiul funcțiilor

MediuStudiul funcțiilorContinuitateIntegrale definite
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R} definită prin f(x)={x2+a,daca˘ x<1bx+c,daca˘ x≥1f(x) = \begin{cases} x^2 + a, & \text{dacă } x < 1 \\ bx + c, & \text{dacă } x \geq 1 \end{cases}. a) Determinați parametrii reali aa, bb și cc astfel încât funcția să fie continuă și derivabilă în x=1x=1. b) Studiați monotonia funcției pe R\mathbb{R}. c) Calculați aria suprafeței plane mărginite de graficul funcției, axa OxOx și dreptele x=0x=0 și x=2x=2.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Pentru continuitate, lim⁡x→1−f(x)=1+a\lim_{x \to 1^-} f(x) = 1 + a, lim⁡x→1+f(x)=b+c\lim_{x \to 1^+} f(x) = b + c, deci 1+a=b+c1 + a = b + c. Pentru derivabilitate, f−′(x)=2xf'_-(x) = 2x pentru x<1x<1, deci f−′(1)=2f'_-(1)=2; f+′(x)=bf'_+(x)=b pentru x≥1x\geq1, deci f+′(1)=bf'_+(1)=b. Impunând f−′(1)=f+′(1)f'_-(1)=f'_+(1), obținem b=2b=2. Din continuitate, 1+a=2+c  ⟹  a−c=11+a=2+c \implies a-c=1. Parametrii pot fi aleși respectând această relație; pentru calculul ulterior, se iau de exemplu a=1a=1, b=2b=2, c=0c=0.
23 puncte
Studiem monotonia. Cu a=1a=1, b=2b=2, c=0c=0, f(x)=x2+1f(x)=x^2+1 pentru x<1x<1 și f(x)=2xf(x)=2x pentru x≥1x\geq1. Derivata: f′(x)=2xf'(x)=2x pentru x<1x<1, deci f′(x)<0f'(x)<0 pentru x<0x<0, f′(x)>0f'(x)>0 pentru 0<x<10<x<1; pentru x≥1x\geq1, f′(x)=2>0f'(x)=2>0. Astfel, funcția este descrescătoare pe (−∞,0)(-\infty,0), crescătoare pe (0,∞)(0,\infty), cu punct de minim la x=0x=0.
34 puncte
Calculăm aria A=∫02∣f(x)∣dxA = \int_0^2 |f(x)| dx. Cu valorile alese, f(x)>0f(x)>0 pentru orice xx, deci A=∫01(x2+1)dx+∫122xdx=[x33+x]01+[x2]12=(13+1)+(4−1)=43+3=133A = \int_0^1 (x^2+1) dx + \int_1^2 2x dx = \left[ \frac{x^3}{3} + x \right]_0^1 + \left[ x^2 \right]_1^2 = \left( \frac{1}{3} + 1 \right) + (4 - 1) = \frac{4}{3} + 3 = \frac{13}{3}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Studiul funcțiilor

Ușor#1Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→6x+3−3x−6\lim_{x\to 6}\frac{\sqrt{x+3}-3}{x-6}.
Mediu#2Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→2[(x3−4xx3−8)−1−(x+2xx−2−2x−2)−1]\lim_{x\to2}\left[\left(\frac{x^3 - 4x}{x^3 - 8}\right)^{-1} - \left(\frac{x + \sqrt{2x}}{x - 2} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x} - \sqrt{2}}\right)^{-1}\right]
Ușor#3Studiul funcțiilorAsimptote
Calculați limita lim⁡x→∞(3x5x−1−2x2+1x2+2x−1)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{3x}{5x - 1} - \frac{2x^2 + 1}{x^2 + 2x - 1}\right).
Ușor#4Studiul funcțiilorPolinoame
Calculați limita lim⁡x→∞(2x2+7x−26x3−4x+3)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{2x^2 + 7x - 2}{6x^3 - 4x + 3}\right).
Vezi toate problemele de Studiul funcțiilor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Studiul funcțiilor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.