MediuStudiul funcțiilorClasa 11

Problemă rezolvată de Studiul funcțiilor

MediuStudiul funcțiilorDerivateDomeniul de definiție al funcțiilor
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x3−3x2+2x2−4f(x) = \frac{x^3 - 3x^2 + 2}{x^2 - 4}. a) Determinați domeniul maxim de definiție al funcției ff și studiați derivabilitatea în punctele acestuia. b) Calculați limitele la capetele domeniului și determinați asimptotele funcției ff. c) Stabiliți dacă punctele de coordonate (−1,f(−1))(-1, f(-1)) și (3,f(3))(3, f(3)) sunt puncte de extrem local ale funcției ff.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Determinarea domeniului de definiție. x2−4≠0⇒x≠±2x^2 - 4 \neq 0 \Rightarrow x \neq \pm 2, deci Df=R∖{−2,2}D_f = \mathbb{R} \setminus \{-2, 2\}. Verificarea derivabilității: funcția este derivabilă pe DfD_f deoarece este rațională cu numitor nenul pe DfD_f; studiez derivabilitatea în ±2\pm 2 (punctele nu sunt în domeniu, deci nu are sens).
23 puncte
Calculul limitelor: lim⁡x→±∞f(x)=lim⁡x→±∞x3x2=±∞\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^3}{x^2} = \pm \infty, deci nu există asimptotă orizontală; lim⁡x→±∞f(x)x=lim⁡x→±∞x3−3x2+2x(x2−4)=1\lim_{x \to \pm \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^3 - 3x^2 + 2}{x(x^2 - 4)} = 1, lim⁡x→±∞(f(x)−x)=lim⁡x→±∞x3−3x2+2x2−4−x=lim⁡x→±∞x3−3x2+2−x3+4xx2−4=lim⁡x→±∞−3x2+4x+2x2−4=−3\lim_{x \to \pm \infty} (f(x) - x) = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^3 - 3x^2 + 2}{x^2 - 4} - x = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^3 - 3x^2 + 2 - x^3 + 4x}{x^2 - 4} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{-3x^2 + 4x + 2}{x^2 - 4} = -3, deci asimptota oblică este y=x−3y = x - 3. Pentru asimptote verticale: lim⁡x→−2f(x)=lim⁡x→−2(x−1)(x2−2x−2)(x−2)(x+2)\lim_{x \to -2} f(x) = \lim_{x \to -2} \frac{(x-1)(x^2 - 2x - 2)}{(x-2)(x+2)}; numitorul tinde la 0, numărătorul la (−3)(4+4−2)=(−3)(6)=−18≠0(-3)(4+4-2) = (-3)(6) = -18 \neq 0, deci limită infinită; similar pentru x→2x \to 2: numărătorul tinde la (1)(4−4−2)=−2≠0(1)(4-4-2) = -2 \neq 0, deci x=−2x = -2 și x=2x = 2 sunt asimptote verticale.
35 puncte
Calcul derivatei: f′(x)=(3x2−6x)(x2−4)−(x3−3x2+2)(2x)(x2−4)2=3x4−6x3−12x2+24x−2x4+6x3−4x(x2−4)2=x4−12x2+20x(x2−4)2=x(x3−12x+20)(x2−4)2f'(x) = \frac{(3x^2 - 6x)(x^2 - 4) - (x^3 - 3x^2 + 2)(2x)}{(x^2 - 4)^2} = \frac{3x^4 - 6x^3 - 12x^2 + 24x - 2x^4 + 6x^3 - 4x}{(x^2 - 4)^2} = \frac{x^4 - 12x^2 + 20x}{(x^2 - 4)^2} = \frac{x(x^3 - 12x + 20)}{(x^2 - 4)^2}. Factorizez x3−12x+20x^3 - 12x + 20: prin încercare, x=2x=2 rădăcină? 8−24+20=4≠08-24+20=4 \neq 0; x=−2x=-2? −8+24+20=36-8+24+20=36; x=...3x= \sqrt[3]{...} complex, dar pentru punctele date: f′(−1)=−1((−1)3−12(−1)+20)((−1)2−4)2=−1(−1+12+20)(1−4)2=−1(31)9=−319<0f'(-1) = \frac{-1((-1)^3 - 12(-1) + 20)}{((-1)^2 - 4)^2} = \frac{-1(-1+12+20)}{(1-4)^2} = \frac{-1(31)}{9} = -\frac{31}{9} < 0, deci în x=−1x=-1 derivata este negativă, funcția descrescătoare, deci nu extrem; f′(3)=3(27−36+20)(9−4)2=3(11)25=3325>0f'(3) = \frac{3(27 - 36 + 20)}{(9-4)^2} = \frac{3(11)}{25} = \frac{33}{25} > 0, derivată pozitivă, crescătoare, deci nu extrem. Nici unul nu este punct de extrem local.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Studiul funcțiilor

Ușor#1Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→6x+3−3x−6\lim_{x\to 6}\frac{\sqrt{x+3}-3}{x-6}.
Mediu#2Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→2[(x3−4xx3−8)−1−(x+2xx−2−2x−2)−1]\lim_{x\to2}\left[\left(\frac{x^3 - 4x}{x^3 - 8}\right)^{-1} - \left(\frac{x + \sqrt{2x}}{x - 2} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x} - \sqrt{2}}\right)^{-1}\right]
Ușor#3Studiul funcțiilorAsimptote
Calculați limita lim⁡x→∞(3x5x−1−2x2+1x2+2x−1)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{3x}{5x - 1} - \frac{2x^2 + 1}{x^2 + 2x - 1}\right).
Ușor#4Studiul funcțiilorPolinoame
Calculați limita lim⁡x→∞(2x2+7x−26x3−4x+3)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{2x^2 + 7x - 2}{6x^3 - 4x + 3}\right).
Vezi toate problemele de Studiul funcțiilor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Studiul funcțiilor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.