MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeAlgebră și Calcule cu Numere RealeMonotonie și convexitate
Se consideră șirul (an)n≥1(a_n)_{n \ge 1} definit prin a1=2a_1 = \sqrt{2} și an+1=2+ana_{n+1} = \sqrt{2 + a_n} pentru orice n≥1n \ge 1. Să se arate că șirul este convergent și să se determine limita sa. Să se studieze monotonia șirului.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Se arată prin inducție matematică că 0<an<20 < a_n < 2 pentru orice n≥1n \ge 1, deci șirul este mărginit.
23 puncte
Se demonstrează că șirul este crescător, comparând an+1a_{n+1} cu ana_n folosind proprietățile radicalului: an+1−an=2+an−ana_{n+1} - a_n = \sqrt{2 + a_n} - a_n, iar din an<2a_n < 2 se obține că această diferență este pozitivă.
32 puncte
Conform teoremei șirurilor monotone și mărginite, șirul este convergent.
42 puncte
Fie L=lim⁡n→∞anL = \lim_{n \to \infty} a_n. Trecând la limită în relația an+1=2+ana_{n+1} = \sqrt{2 + a_n}, se obține L=2+LL = \sqrt{2 + L}, de unde L2−L−2=0L^2 - L - 2 = 0, cu soluțiile L=2L=2 și L=−1L=-1. Cum an>0a_n > 0 pentru toți nn, rezultă L=2L=2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.