MediuStudiul funcțiilorClasa 11

Problemă rezolvată de Studiul funcțiilor

MediuStudiul funcțiilorContinuitateDerivate
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=∣x2−4∣+xf(x) = |x^2 - 4| + x. Studiați continuitatea și derivabilitatea funcției ff; determinați intervalele de monotonie și punctele de extrem ale funcției ff; reprezentați grafic funcția ff.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Studierea continuității și derivabilității: funcția este continuă pe R\mathbb{R} deoarece este sumă de funcții continue; pentru derivabilitate, se scrie f(x)={x2+x−4,pentru x≤−2 sau x≥2−x2+x+4,pentru −2<x<2f(x) = \begin{cases} x^2 + x - 4, & \text{pentru } x \leq -2 \text{ sau } x \geq 2 \\ -x^2 + x + 4, & \text{pentru } -2 < x < 2 \end{cases}. Se calculează derivatele laterale în x=−2x = -2 și x=2x = 2: pentru x=−2x = -2, f−′(−2)=2(−2)+1=−3f'_{-}(-2) = 2(-2) + 1 = -3, f+′(−2)=−2(−2)+1=5f'_{+}(-2) = -2(-2) + 1 = 5, deci nu este derivabilă în x=−2x = -2; pentru x=2x = 2, f−′(2)=−2(2)+1=−3f'_{-}(2) = -2(2) + 1 = -3, f+′(2)=2(2)+1=5f'_{+}(2) = 2(2) + 1 = 5, deci nu este derivabilă în x=2x = 2.
24 puncte
Studierea monotoniei și a punctelor de extrem: pe (−∞,−2)(-\infty, -2), f′(x)=2x+1f'(x) = 2x + 1, care se anulează la x=−0.5x = -0.5, dar −0.5∉(−∞,−2)-0.5 \notin (-\infty, -2), deci f′(x)<0f'(x) < 0 pe (−∞,−2)(-\infty, -2), funcție strict descrescătoare; pe (−2,2)(-2, 2), f′(x)=−2x+1f'(x) = -2x + 1, se anulează la x=0.5x = 0.5, pentru x<0.5x < 0.5, f′(x)>0f'(x) > 0, pentru x>0.5x > 0.5, f′(x)<0f'(x) < 0, deci în x=0.5x = 0.5 este punct de maxim local; pe (2,∞)(2, \infty), f′(x)=2x+1>0f'(x) = 2x + 1 > 0, funcție strict crescătoare. La x=−2x = -2 și x=2x = 2, funcția are puncte de colt, deci nu sunt puncte de extrem.
33 puncte
Reprezentarea grafică: se trasează graficul pe fiecare interval, ținând cont de valorile în punctele importante și de comportamentul asimptotic.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Studiul funcțiilor

Ușor#1Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→6x+3−3x−6\lim_{x\to 6}\frac{\sqrt{x+3}-3}{x-6}.
Mediu#2Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→2[(x3−4xx3−8)−1−(x+2xx−2−2x−2)−1]\lim_{x\to2}\left[\left(\frac{x^3 - 4x}{x^3 - 8}\right)^{-1} - \left(\frac{x + \sqrt{2x}}{x - 2} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x} - \sqrt{2}}\right)^{-1}\right]
Ușor#3Studiul funcțiilorAsimptote
Calculați limita lim⁡x→∞(3x5x−1−2x2+1x2+2x−1)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{3x}{5x - 1} - \frac{2x^2 + 1}{x^2 + 2x - 1}\right).
Ușor#4Studiul funcțiilorPolinoame
Calculați limita lim⁡x→∞(2x2+7x−26x3−4x+3)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{2x^2 + 7x - 2}{6x^3 - 4x + 3}\right).
Vezi toate problemele de Studiul funcțiilor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Studiul funcțiilor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.