MediuStudiul funcțiilorClasa 11

Problemă rezolvată de Studiul funcțiilor

MediuStudiul funcțiilorDerivateEcuații logaritmice
Fie funcția f:(0,∞)→Rf: (0, \infty) \to \mathbb{R}, f(x)=ln⁡(x2+1)−xf(x) = \ln(x^2 + 1) - x. a) Determinați domeniul maxim de definiție al funcției. b) Studiați monotonia funcției. c) Determinați asimptotele funcției. d) Rezolvați ecuația f(x)=0f(x) = 0.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
11 punct
Domeniul de definiție: x2+1>0x^2+1 > 0 pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R}, dar funcția conține ln⁡(x2+1)\ln(x^2+1), care este definită pentru x2+1>0x^2+1>0 (întotdeauna adevărat), iar din enunț se specifică f:(0,∞)→Rf: (0, \infty) \to \mathbb{R}, deci domeniul maxim este (0,∞)(0, \infty).
23 puncte
Monotonia: Calculăm derivata: f′(x)=2xx2+1−1=2x−(x2+1)x2+1=−x2+2x−1x2+1=−(x−1)2x2+1f'(x) = \frac{2x}{x^2+1} - 1 = \frac{2x - (x^2+1)}{x^2+1} = \frac{-x^2 + 2x - 1}{x^2+1} = \frac{-(x-1)^2}{x^2+1}. Deoarece (x−1)2≥0(x-1)^2 \ge 0 și x2+1>0x^2+1>0, avem f′(x)≤0f'(x) \le 0, cu egal doar la x=1x=1. Prin urmare, funcția este descrescătoare pe (0,∞)(0, \infty).
33 puncte
Asimptote: Asimptotă verticală: nu există, deoarece funcția este continuă pe domeniu și nu are puncte de discontinuitate. Asimptotă orizontală la ∞\infty: lim⁡x→∞f(x)=lim⁡x→∞(ln⁡(x2+1)−x)=−∞\lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} (\ln(x^2+1) - x) = -\infty, deci nu există. Asimptotă oblică: calculăm m=lim⁡x→∞f(x)x=lim⁡x→∞(ln⁡(x2+1)x−1)=0−1=−1m = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \left( \frac{\ln(x^2+1)}{x} - 1 \right) = 0 - 1 = -1, apoi n=lim⁡x→∞(f(x)−mx)=lim⁡x→∞(ln⁡(x2+1)−x+x)=lim⁡x→∞ln⁡(x2+1)=∞n = \lim_{x \to \infty} (f(x) - mx) = \lim_{x \to \infty} (\ln(x^2+1) - x + x) = \lim_{x \to \infty} \ln(x^2+1) = \infty, deci nu există asimptotă oblică. Rezultă că funcția nu are asimptote.
43 puncte
Ecuația f(x)=0f(x)=0, adică ln⁡(x2+1)=x\ln(x^2+1) = x. Considerăm funcția g(x)=ln⁡(x2+1)−xg(x)= \ln(x^2+1) - x. Din studiul monotoniei, gg este descrescătoare pe (0,∞)(0, \infty). Calculăm limite: lim⁡x→0+g(x)=ln⁡(1)−0=0\lim_{x \to 0^+} g(x) = \ln(1) - 0 = 0, dar x=0x=0 nu este în domeniu; g(1)=ln⁡(2)−1<0g(1) = \ln(2) - 1 < 0. Deoarece gg este continuă și descrescătoare, iar g(x)<0g(x) < 0 pentru x>0x>0, ecuația g(x)=0g(x)=0 nu are soluții în domeniu. Deci ecuația f(x)=0f(x)=0 nu are soluții reale.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Studiul funcțiilor

Ușor#1Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→6x+3−3x−6\lim_{x\to 6}\frac{\sqrt{x+3}-3}{x-6}.
Mediu#2Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→2[(x3−4xx3−8)−1−(x+2xx−2−2x−2)−1]\lim_{x\to2}\left[\left(\frac{x^3 - 4x}{x^3 - 8}\right)^{-1} - \left(\frac{x + \sqrt{2x}}{x - 2} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x} - \sqrt{2}}\right)^{-1}\right]
Ușor#3Studiul funcțiilorAsimptote
Calculați limita lim⁡x→∞(3x5x−1−2x2+1x2+2x−1)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{3x}{5x - 1} - \frac{2x^2 + 1}{x^2 + 2x - 1}\right).
Ușor#4Studiul funcțiilorPolinoame
Calculați limita lim⁡x→∞(2x2+7x−26x3−4x+3)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{2x^2 + 7x - 2}{6x^3 - 4x + 3}\right).
Vezi toate problemele de Studiul funcțiilor →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Studiul funcțiilor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.