MediuProgresii AritmeticeClasa 10

Problemă rezolvată de Progresii Aritmetice

MediuProgresii AritmeticeLogaritmiAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} o progresie aritmetică cu rația rr. Dacă log⁡3(a2+a4)=2\log_{3}(a_2 + a_4) = 2 și log⁡3(a3+a5)=3\log_{3}(a_3 + a_5) = 3, determinați a1a_1 și rr. Verificați apoi dacă termenii a1,a2,a3a_1, a_2, a_3 formează o progresie geometrică.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Exprimăm termenii progresiei aritmetice: a2=a1+ra_2 = a_1 + r, a3=a1+2ra_3 = a_1 + 2r, a4=a1+3ra_4 = a_1 + 3r, a5=a1+4ra_5 = a_1 + 4r.
23 puncte
Din condițiile cu logaritmi, obținem ecuațiile: a2+a4=32=9a_2 + a_4 = 3^2 = 9 și a3+a5=33=27a_3 + a_5 = 3^3 = 27. Înlocuind, avem (a1+r)+(a1+3r)=9(a_1 + r) + (a_1 + 3r) = 9 și (a1+2r)+(a1+4r)=27(a_1 + 2r) + (a_1 + 4r) = 27, adică 2a1+4r=92a_1 + 4r = 9 și 2a1+6r=272a_1 + 6r = 27.
32 puncte
Rezolvăm sistemul: scădem prima ecuație din a doua, obținem 2r=182r = 18, deci r=9r = 9. Înlocuim în 2a1+4⋅9=92a_1 + 4 \cdot 9 = 9, deci 2a1+36=92a_1 + 36 = 9, 2a1=−272a_1 = -27, a1=−13.5a_1 = -13.5.
42 puncte
Verificăm dacă a1,a2,a3a_1, a_2, a_3 sunt în progresie geometrică: a1=−13.5a_1 = -13.5, a2=−13.5+9=−4.5a_2 = -13.5 + 9 = -4.5, a3=−13.5+18=4.5a_3 = -13.5 + 18 = 4.5. Verificăm rația geometrică: a2a1=−4.5−13.5=13\frac{a_2}{a_1} = \frac{-4.5}{-13.5} = \frac{1}{3} și a3a2=4.5−4.5=−1\frac{a_3}{a_2} = \frac{4.5}{-4.5} = -1. Deoarece rațiile nu sunt egale, termenii nu formează o progresie geometrică.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Progresii Aritmetice

Ușor#1Progresii AritmeticeEcuații exponentialeFuncția de gradul al II-lea
Rezolvați inegalitatea (0.3)2+4+6+⋯+2x>(0.3)72, x∈N(0.3)^{2+4+6+\dots+2x}>(0.3)^{72},\ x\in\mathbb{N}.
Ușor#2Progresii AritmeticeSisteme de Ecuații Liniare
Găsiți primul termen a1a_1 și diferența comună dd ale progresiei aritmetice {an}\{a_n\} în care sunt adevărate ecuațiile a2+a5−a3=10a_2 + a_5 - a_3 = 10 și a2+a9=17a_2 + a_9 = 17.
Ușor#3Progresii AritmeticeȘiruri de numere reale
Arătați că șirul {an}\{a_n\} este o progresie aritmetică, știind că suma primelor nn termene este Sn=2n2+3nS_n = 2n^2 + 3n.
Ușor#4Progresii AritmeticeȘiruri de numere realeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Determinați primele trei termene ale progresiei aritmetice a cărei sumă a primelor nn termene este Sn=4n2−3nS_n = 4n^2 - 3n, pentru orice nn.
Vezi toate problemele de Progresii Aritmetice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Progresii Aritmetice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.