MediuPrimitiveClasa 12

Problemă rezolvată de Primitive

MediuPrimitivePolinoameAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Să se determine o primitivă a funcției f(x)=3x2+2x−1x2+1f(x) = \frac{3x^2 + 2x - 1}{x^2 + 1} și să se verifice că derivata acesteia este egală cu f(x)f(x).

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
14 puncte
Simplificăm funcția: 3x2+2x−1x2+1=3(x2+1)+2x−4x2+1=3+2x−4x2+1\frac{3x^2 + 2x - 1}{x^2 + 1} = \frac{3(x^2+1) + 2x - 4}{x^2+1} = 3 + \frac{2x - 4}{x^2+1}.
23 puncte
Găsim primitivele pentru fiecare parte: ∫3 dx=3x+C1\int 3 \, dx = 3x + C_1, și ∫2x−4x2+1 dx\int \frac{2x - 4}{x^2+1} \, dx. Pentru 2xx2+1\frac{2x}{x^2+1}, o primitivă este ln⁡(x2+1)\ln(x^2+1) (deoarece derivata lui ln⁡(x2+1)\ln(x^2+1) este 2xx2+1\frac{2x}{x^2+1}). Pentru −4x2+1\frac{-4}{x^2+1}, o primitivă este −4arctan⁡(x)-4 \arctan(x).
32 puncte
Combinăm: O primitivă a lui f(x)f(x) este F(x)=3x+ln⁡(x2+1)−4arctan⁡(x)+CF(x) = 3x + \ln(x^2+1) - 4 \arctan(x) + C.
41 punct
Verificăm derivând: F′(x)=3+2xx2+1−4x2+1=3+2x−4x2+1=3(x2+1)+2x−4x2+1=3x2+3+2x−4x2+1=3x2+2x−1x2+1=f(x)F'(x) = 3 + \frac{2x}{x^2+1} - \frac{4}{x^2+1} = 3 + \frac{2x - 4}{x^2+1} = \frac{3(x^2+1) + 2x - 4}{x^2+1} = \frac{3x^2 + 3 + 2x - 4}{x^2+1} = \frac{3x^2 + 2x - 1}{x^2+1} = f(x).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Primitive

Ușor#1PrimitiveDerivate
Găsiți F(x)F(x) știind că F′(x)=4x+1F'(x) = 4x + 1 și F(−1)=2F(-1) = 2.
Ușor#2PrimitiveDerivate
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 3x2−4x3x^2 - 4x și F(0)=1F(0) = 1.
Ușor#3PrimitiveDerivatePolinoame
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 7x2−2x+37x^2 - 2x + 3 și graficul lui F trece prin punctul M(1,5)M(1,5).
Ușor#4PrimitiveTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 1 + x + cos 2x și F(0) = 1.
Vezi toate problemele de Primitive →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Primitive cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.