MediuPrimitiveClasa 12

Problemă rezolvată de Primitive

MediuPrimitiveIntegrale definiteTrigonometrie
Fie funcția f(x)=e−xsin⁡xf(x) = e^{-x} \sin x. Să se calculeze ∫0πf(x) dx\int_0^{\pi} f(x) \, dx folosind primitiva funcției.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Determinarea primitiei lui f(x)f(x) prin integrare prin părți de două ori. Se notează I=∫e−xsin⁡x dxI = \int e^{-x} \sin x \, dx și se aplică integrarea prin părți, obținând F(x)=−12e−x(sin⁡x+cos⁡x)F(x) = -\frac{1}{2} e^{-x} (\sin x + \cos x).
23 puncte
Calculul integralelor definite: ∫0πf(x) dx=F(π)−F(0)=[−12e−π(sin⁡π+cos⁡π)]−[−12e0(sin⁡0+cos⁡0)]\int_0^{\pi} f(x) \, dx = F(\pi) - F(0) = \left[ -\frac{1}{2} e^{-\pi} (\sin \pi + \cos \pi) \right] - \left[ -\frac{1}{2} e^{0} (\sin 0 + \cos 0) \right].
33 puncte
Simplificarea valorilor trigonometrice: sin⁡π=0\sin \pi = 0, cos⁡π=−1\cos \pi = -1, sin⁡0=0\sin 0 = 0, cos⁡0=1\cos 0 = 1, deci ∫0πf(x) dx=−12e−π(0−1)+12(0+1)=12e−π+12=12(1+e−π)\int_0^{\pi} f(x) \, dx = -\frac{1}{2} e^{-\pi} (0 - 1) + \frac{1}{2} (0 + 1) = \frac{1}{2} e^{-\pi} + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} (1 + e^{-\pi}).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Primitive

Ușor#1PrimitiveDerivate
Găsiți F(x)F(x) știind că F′(x)=4x+1F'(x) = 4x + 1 și F(−1)=2F(-1) = 2.
Ușor#2PrimitiveDerivate
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 3x2−4x3x^2 - 4x și F(0)=1F(0) = 1.
Ușor#3PrimitiveDerivatePolinoame
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 7x2−2x+37x^2 - 2x + 3 și graficul lui F trece prin punctul M(1,5)M(1,5).
Ușor#4PrimitiveTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 1 + x + cos 2x și F(0) = 1.
Vezi toate problemele de Primitive →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Primitive cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.