MediuProgresii AritmeticeClasa 11

Problemă rezolvată de Progresii Aritmetice

MediuProgresii AritmeticeIdentități algebriceȘiruri de numere reale
Fie (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} o progresie aritmetică cu primul termen a1a_1 și rația rr. Demonstrați că suma pătratelor primilor nn termeni, Sn(2)=a12+a22+⋯+an2S_n^{(2)} = a_1^2 + a_2^2 + \dots + a_n^2, se poate exprima ca Sn(2)=n6[6a12+6(n−1)a1r+(n−1)(2n−1)r2]S_n^{(2)} = \frac{n}{6} [6a_1^2 + 6(n-1)a_1 r + (n-1)(2n-1)r^2].

Rezolvare completă

10 puncte · 6 pași
11 punct
Termenul general al progresiei este ak=a1+(k−1)ra_k = a_1 + (k-1)r pentru k=1,2,…,nk=1,2,\dots,n.
22 puncte
Pătratul termenului general: ak2=a12+2a1r(k−1)+r2(k−1)2a_k^2 = a_1^2 + 2a_1 r (k-1) + r^2 (k-1)^2.
32 puncte
Scriem suma pătratelor: Sn(2)=∑k=1nak2=∑k=1n[a12+2a1r(k−1)+r2(k−1)2]S_n^{(2)} = \sum_{k=1}^{n} a_k^2 = \sum_{k=1}^{n} [a_1^2 + 2a_1 r (k-1) + r^2 (k-1)^2].
42 puncte
Separăm suma: Sn(2)=a12∑k=1n1+2a1r∑k=1n(k−1)+r2∑k=1n(k−1)2S_n^{(2)} = a_1^2 \sum_{k=1}^{n} 1 + 2a_1 r \sum_{k=1}^{n} (k-1) + r^2 \sum_{k=1}^{n} (k-1)^2.
52 puncte
Calculăm sumele: ∑k=1n1=n\sum_{k=1}^{n} 1 = n, ∑k=1n(k−1)=n(n−1)2\sum_{k=1}^{n} (k-1) = \frac{n(n-1)}{2}, ∑k=1n(k−1)2=(n−1)n(2n−1)6\sum_{k=1}^{n} (k-1)^2 = \frac{(n-1)n(2n-1)}{6}.
61 punct
Înlocuim și obținem: Sn(2)=a12n+2a1r⋅n(n−1)2+r2⋅(n−1)n(2n−1)6=n6[6a12+6(n−1)a1r+(n−1)(2n−1)r2]S_n^{(2)} = a_1^2 n + 2a_1 r \cdot \frac{n(n-1)}{2} + r^2 \cdot \frac{(n-1)n(2n-1)}{6} = \frac{n}{6} [6a_1^2 + 6(n-1)a_1 r + (n-1)(2n-1)r^2].

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Progresii Aritmetice

Ușor#1Progresii AritmeticeEcuații exponentialeFuncția de gradul al II-lea
Rezolvați inegalitatea (0.3)2+4+6+⋯+2x>(0.3)72, x∈N(0.3)^{2+4+6+\dots+2x}>(0.3)^{72},\ x\in\mathbb{N}.
Ușor#2Progresii AritmeticeSisteme de Ecuații Liniare
Găsiți primul termen a1a_1 și diferența comună dd ale progresiei aritmetice {an}\{a_n\} în care sunt adevărate ecuațiile a2+a5−a3=10a_2 + a_5 - a_3 = 10 și a2+a9=17a_2 + a_9 = 17.
Ușor#3Progresii AritmeticeȘiruri de numere reale
Arătați că șirul {an}\{a_n\} este o progresie aritmetică, știind că suma primelor nn termene este Sn=2n2+3nS_n = 2n^2 + 3n.
Ușor#4Progresii AritmeticeȘiruri de numere realeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Determinați primele trei termene ale progresiei aritmetice a cărei sumă a primelor nn termene este Sn=4n2−3nS_n = 4n^2 - 3n, pentru orice nn.
Vezi toate problemele de Progresii Aritmetice →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Progresii Aritmetice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.