MediuȘiruri de numere realeClasa 11

Problemă rezolvată de Șiruri de numere reale

MediuȘiruri de numere realeInducție matematică
Se consideră șirul (xn)n≥1(x_n)_{n \geq 1} definit prin x1=2x_1 = 2 și xn+1=12(xn+5xn)x_{n+1} = \frac{1}{2} \left( x_n + \frac{5}{x_n} \right) pentru orice n≥1n \geq 1. a) Demonstrați că șirul este descrescător și mărginit inferior. b) Calculați lim⁡n→∞xn\lim_{n \to \infty} x_n.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Prin inducție matematică, se arată că xn>5x_n > \sqrt{5} pentru orice n≥1n \geq 1, deci șirul este mărginit inferior. \n
23 puncte
Se demonstrează că xn+1≤xnx_{n+1} \leq x_n pentru orice n≥1n \geq 1, folosind inegalitatea 12(xn+5xn)≤xn\frac{1}{2} \left( x_n + \frac{5}{x_n} \right) \leq x_n, care este echivalentă cu xn2≥5x_n^2 \geq 5. \n
33 puncte
Fie L=lim⁡n→∞xnL = \lim_{n \to \infty} x_n. Din relația de recurență, se obține L=12(L+5L)L = \frac{1}{2} \left( L + \frac{5}{L} \right), de unde L2=5L^2 = 5 și, cum L>0L > 0, rezultă L=5L = \sqrt{5}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Șiruri de numere reale

Ușor#1Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+2n2+⋯+n−1n2)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \dots + \frac{n-1}{n^2}\right)
Ușor#2Șiruri de numere realeProgresii Aritmetice
Calculați limita: lim⁡n→∞(1n2+1+2n2+1+⋯+n−1n2+1)\lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} + \dots + \frac{n-1}{n^2+1}\right).
Ușor#3Șiruri de numere realeProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡n→∞2n2+n−1(n+1)+(n+2)+⋯+2n\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + n - 1}{(n+1) + (n+2) + \dots + 2n}.
Ușor#4Șiruri de numere realeProgresii Geometrice
Calculați limita: lim⁡n→∞n22n\lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}.
Vezi toate problemele de Șiruri de numere reale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Șiruri de numere reale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.