MediuStudiul funcțiilorClasa 11

Problemă rezolvată de Studiul funcțiilor

MediuStudiul funcțiilorLogaritmiMonotonie și convexitate
Fie funcția f:(0,∞)→Rf: (0, \infty) \to \mathbb{R}, f(x)=xln⁡x−xf(x) = x \ln x - x. Studiați funcția: determinați domeniul de definiție, asimptotele, intervalele de monotonie, convexitatea și punctele de inflexiune.

Rezolvare completă

10 puncte · 6 pași
11 punct
Domeniul de definiție: (0,∞)(0, \infty) deoarece ln⁡x\ln x este definit pentru x>0x > 0.
22 puncte
Asimptote: lim⁡x→0+f(x)=lim⁡x→0+(xln⁡x−x)=0−0=0\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (x \ln x - x) = 0 - 0 = 0 (folosind lim⁡x→0+xln⁡x=0\lim_{x \to 0^+} x \ln x = 0), deci nu există asimptotă verticală. lim⁡x→∞f(x)x=lim⁡x→∞(ln⁡x−1)=∞\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} (\ln x - 1) = \infty, deci nu există asimptotă oblică. Nu există asimptote orizontale.
33 puncte
Monotonie: f′(x)=ln⁡x+1−1=ln⁡xf'(x) = \ln x + 1 - 1 = \ln x. f′(x)=0⇒ln⁡x=0⇒x=1f'(x) = 0 \Rightarrow \ln x = 0 \Rightarrow x = 1. Pentru x∈(0,1)x \in (0,1), ln⁡x<0\ln x < 0, deci f′(x)<0f'(x) < 0 și ff este strict descrescătoare; pentru x∈(1,∞)x \in (1, \infty), ln⁡x>0\ln x > 0, deci f′(x)>0f'(x) > 0 și ff este strict crescătoare.
41 punct
Extreme: În x=1x = 1, funcția are un minim local, f(1)=1⋅0−1=−1f(1) = 1 \cdot 0 - 1 = -1.
52 puncte
Convexitate: f′′(x)=1xf''(x) = \frac{1}{x}. Pentru x>0x > 0, f′′(x)>0f''(x) > 0, deci funcția este convexă pe (0,∞)(0, \infty).
61 punct
Puncte de inflexiune: Deoarece f′′(x)>0f''(x) > 0 pentru toate x>0x > 0, nu există puncte de inflexiune.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Studiul funcțiilor

Ușor#1Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→6x+3−3x−6\lim_{x\to 6}\frac{\sqrt{x+3}-3}{x-6}.
Mediu#2Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→2[(x3−4xx3−8)−1−(x+2xx−2−2x−2)−1]\lim_{x\to2}\left[\left(\frac{x^3 - 4x}{x^3 - 8}\right)^{-1} - \left(\frac{x + \sqrt{2x}}{x - 2} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x} - \sqrt{2}}\right)^{-1}\right]
Ușor#3Studiul funcțiilorAsimptote
Calculați limita lim⁡x→∞(3x5x−1−2x2+1x2+2x−1)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{3x}{5x - 1} - \frac{2x^2 + 1}{x^2 + 2x - 1}\right).
Ușor#4Studiul funcțiilorPolinoame
Calculați limita lim⁡x→∞(2x2+7x−26x3−4x+3)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{2x^2 + 7x - 2}{6x^3 - 4x + 3}\right).
Vezi toate problemele de Studiul funcțiilor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Studiul funcțiilor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.