MediuPrimitiveClasa 12

Problemă rezolvată de Primitive

MediuPrimitiveFuncția de gradul al II-leaAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x+2x2+4x+8f(x) = \frac{x+2}{x^2+4x+8}. Să se determine o primitivă FF a lui ff astfel încât F(0)=ln⁡2F(0) = \ln 2.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Se observă că x2+4x+8=(x+2)2+4x^2+4x+8 = (x+2)^2 + 4. Se face substituția u=x+2u = x+2, deci du=dxdu = dx și f(x)dx=uu2+4duf(x)dx = \frac{u}{u^2+4} du.
24 puncte
Se calculează integrala nedefinită: ∫uu2+4du=12ln⁡(u2+4)+C=12ln⁡(x2+4x+8)+C\int \frac{u}{u^2+4} du = \frac{1}{2} \ln(u^2+4) + C = \frac{1}{2} \ln(x^2+4x+8) + C.
33 puncte
Din condiția F(0)=ln⁡2F(0) = \ln 2, se obține 12ln⁡8+C=ln⁡2\frac{1}{2} \ln 8 + C = \ln 2. Rezolvând, C=ln⁡2−12ln⁡8=ln⁡2−ln⁡(22)=ln⁡(222)=ln⁡(12)=−12ln⁡2C = \ln 2 - \frac{1}{2} \ln 8 = \ln 2 - \ln(2\sqrt{2}) = \ln\left(\frac{2}{2\sqrt{2}}\right) = \ln\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = -\frac{1}{2} \ln 2. Astfel, F(x)=12ln⁡(x2+4x+8)−12ln⁡2=12ln⁡(x2+4x+82)F(x) = \frac{1}{2} \ln(x^2+4x+8) - \frac{1}{2} \ln 2 = \frac{1}{2} \ln\left(\frac{x^2+4x+8}{2}\right).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Primitive

Ușor#1PrimitiveDerivate
Găsiți F(x)F(x) știind că F′(x)=4x+1F'(x) = 4x + 1 și F(−1)=2F(-1) = 2.
Ușor#2PrimitiveDerivate
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 3x2−4x3x^2 - 4x și F(0)=1F(0) = 1.
Ușor#3PrimitiveDerivatePolinoame
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 7x2−2x+37x^2 - 2x + 3 și graficul lui F trece prin punctul M(1,5)M(1,5).
Ușor#4PrimitiveTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Găsiți F(x) știind că F'(x) = 1 + x + cos 2x și F(0) = 1.
Vezi toate problemele de Primitive →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Primitive cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.