MediuStudiul funcțiilorClasa 11

Problemă rezolvată de Studiul funcțiilor

MediuStudiul funcțiilorDerivateContinuitate
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R} definită prin f(x)=∣x2−4∣+xf(x) = |x^2 - 4| + x. Să se studieze: a) domeniul de definiție și continuitatea; b) derivabilitatea și punctele critice; c) monotonia funcției pe intervalele determinate; d) asimptotele oblice ale graficului; e) să se reprezinte schematic graficul funcției.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Domeniul este R\mathbb{R} și ff este continuă pe R\mathbb{R} ca sumă de funcții continue.
23 puncte
Scrierea funcției sub formă pe intervale: f(x)={x2+x−4 pentru x≤−2 sau x≥2−x2+x+4 pentru −2<x<2f(x) = \begin{cases} x^2 + x - 4 & \text{ pentru } x \leq -2 \text{ sau } x \geq 2 \\ -x^2 + x + 4 & \text{ pentru } -2 < x < 2 \end{cases}. Derivabilitatea: se calculează derivatele laterale în x=−2x = -2 și x=2x = 2, se arată că ff este derivabilă pe R∖{−2,2}\mathbb{R} \setminus \{-2, 2\} și punctele critice se găsesc rezolvând f′(x)=0f'(x) = 0 pe fiecare interval.
32 puncte
Studiul semnului derivatei: pe (−∞,−2)(-\infty, -2), f′(x)=2x+1f'(x) = 2x + 1; pe (−2,2)(-2,2), f′(x)=−2x+1f'(x) = -2x + 1; pe (2,∞)(2,\infty), f′(x)=2x+1f'(x) = 2x + 1. Se determină intervalele de monotonie crescătoare/descrescătoare.
42 puncte
Asimptote oblice: pentru x→±∞x \to \pm \infty, f(x)∼x2+xf(x) \sim x^2 + x, deci lim⁡x→±∞f(x)x=∞\lim_{x \to \pm \infty} \frac{f(x)}{x} = \infty, așadar nu există asimptote oblice.
51 punct
Reprezentarea schematică a graficului, cu punctele de discontinuitate a derivatei și comportarea asimptotică.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Studiul funcțiilor

Ușor#1Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→6x+3−3x−6\lim_{x\to 6}\frac{\sqrt{x+3}-3}{x-6}.
Mediu#2Studiul funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→2[(x3−4xx3−8)−1−(x+2xx−2−2x−2)−1]\lim_{x\to2}\left[\left(\frac{x^3 - 4x}{x^3 - 8}\right)^{-1} - \left(\frac{x + \sqrt{2x}}{x - 2} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x} - \sqrt{2}}\right)^{-1}\right]
Ușor#3Studiul funcțiilorAsimptote
Calculați limita lim⁡x→∞(3x5x−1−2x2+1x2+2x−1)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{3x}{5x - 1} - \frac{2x^2 + 1}{x^2 + 2x - 1}\right).
Ușor#4Studiul funcțiilorPolinoame
Calculați limita lim⁡x→∞(2x2+7x−26x3−4x+3)\lim_{x\to\infty}\left(\frac{2x^2 + 7x - 2}{6x^3 - 4x + 3}\right).
Vezi toate problemele de Studiul funcțiilor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Studiul funcțiilor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.